39. Недоказанные предложения.

При изложении теории пределов мы оставили недоказанными несколько предложений, которые сейчас перечислим: существование предела у монотонной ограниченной переменной [30]. необходимое и достаточное условие существования предела (признак Коши) [31] и три свойства непрерывных в замкнутом промежутке функций [35]. Доказательство этих предложений основывается на теории вещественных чисел и действий над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше предложений будут посвящены следующие номера.

Введем еще одно новое понятие и формулируем еще одно предложение, которое также будет доказано ниже. Если мы имеем множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например, мы имеем тысячу вещественных чисел), то среди них будет как наибольшее, так и наименьшее. Если же мы имеем бесконечное множество вещественных чисел и даже таких, что все эти числа принадлежат определенному промежутку, то все же не всегда среди этих чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мы рассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихся между 0 и 1, но не будем причислять к этому множеству самих чисел 0 и 1, то среди этого множества чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее, мы ни взяли, найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей. В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие к взятому множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством; среди чисел нашего множества нет чисел, больших единицы, но при заданном положительном числе в есть числа, большие .

Точно так же среди чисел нашего множества нет чисел, меньших , но при любом заданном положительном числе есть числа, меньшие Эти числа 0 и 1 называются точной нижней и точной верхней границами указанного выше множества вещественных чисел.

Перейдем от этого примера к общему случаю.

Пусть имеется некоторое множество Е вещественных чисел. Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число М, что все числа, принадлежащие множеству не превосходят М. Точно так же говорят, что множество ограничено снизу, если существует такое число что все числа, принадлежащие множеству не менее, чем т. Если множество ограничено сверху и снизу, то его просто называют ограниченным.

Определение. Точной верхней границей множества Е называют такое число (если оно существует), что среди чисел, принадлежащих Е, нет чисел, больших , но при любом заданном положительном есть числа, большие . Точной нижней границей множества Е называется такое число а (если оно существует), что среди чисел, принадлежащих Е, нет чисел, меньших а, но при любом заданном положительном есть числа, меньшие .

Если множество Е не ограничено сверху, т. е. существуют числа из Е, большие любого заданного числа, то множество не может иметь точной верхней границы. Точно так же, если множество Е не ограничено снизу, то оно не может иметь точной нижней границы. Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, и является точной верхней границей множества. Точно так же, если среди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точной нижней границей множества Е. Но, как мы видели, не всегда среди чисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее. Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху, всегда имеется точная верхняя граница, а у множества, ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что из определения точных границ непосредственно следует, что точная верхняя и точная нижняя граница может быть только одна.

Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могут быть пропущены при первом чтении.