43. Свойства непрерывных функций.

Переходя к доказательству формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказательства вспомогательной теоремы.

Теорема I. Если непрерывна в промежутке и задано какое-нибудь положительное число , то этот промежуток можно таким образом разбить на конечное число новых промежутков, что если только принадлежат одному и тому же новому промежутку.

Будем доказывать от обратного. Предположим, что теорема несправедлива, и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить на части указанным образом. Делим наш промежуток средней точкой на два промежутка: и если бы теорема была справедлива для каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, была бы справедлива и для всего промежутка (а, b). Итак, мы должны считать, что, по крайней мере, один из двух полученных промежутков нельзя разбить на части указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой теорема не выполняется, и делим его опять на две равные части. Как и выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выполняется. Берем эту половинку, делим ее опять пополам и т. д. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков

из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что длина равная стремится к нулю при возрастании . Кроме того, для всякого промежутка теорема не выполняется, т. е. нельзя никакой разбить на новые промежутки так, чтобы если только принадлежат одному и тому же новому промежутку. Покажем, что это нелепо.

По теореме из имеют общий предел:

причем этот предел, как и все числа принадлежит промежутку . Положим сначала, что а — внутри

По условию, непрерывна при и, следовательно [34], при заданном в теореме существует такое что для всех из промежутка выполняется неравенство

Если два любых значения из промежутка , а то мы имеем

откуда

и, в силу (31),

т. е.

для любых из промежутка Но, в силу (30), будет существовать промежуток принадлежащий промежутку Поэтому неравенство (32) и подавно будет выполняться для любых из этого промежутка т. е. для промежутка теорема выполняется даже без всякого его подразделения на части. Это противоречит тому, что, как мы видели выше, для всякого промежутка теорема не выполняется. Таким образом, теорема доказана, если а — внутри промежутка Если а совпадает, например, с левым концом промежутка, т. е. то доказательство будет таким же, но вместо промежутка надо будет взять промежуток

Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из [35].

Теорема II. Если непрерывна в промежутке то она равномерно непрерывна в этом промежутке, т. е. при любом заданном положительном существует такое положительное у, что для любых значений из удовлетворяющих неравенству

В силу теоремы I мы можем подразделить на конечное число новых промежутков так, чтобы если только принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть длина самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этом числе наша теорема выполняется. Действительно, если два значения из удовлетворяющие/неравенству то или принадлежат одому и тому же новому промежутку, или они находятся в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первом случае, по построению новых промежутков, имеем: а потому и подавно Переходя ко второму случаю, обозначим через f точку, в которой соприкасаются те два прилегающих друг к другу промежутка, к которым принадлежат . В данном случае мы можем написать

т. е.

Но

так как точки , а также находятся в одном и том же новом промежутке.

Неравенства (33) и (34) дают нам и теорема доказана.

Теорема I приводит нас также к такому следствию:

Следствие. Функция, непрерывная в промежутке ограничена сверху и снизу, т. е. просто ограничена в этом промежутке. Иными словами, существует такое число М, что для всех значений из выполняется неравенство Действительно, возьмем некоторое определенное и пусть число тех новых промежутков, на которые надо разбить чтобы удовлетворить теореме I при взятом значении Для любых двух точек, принадлежащих одному и тому же новому промежутку, мы имеем Отсюда непосредственно следует, что для любого из промежутка мы имеем т. е. все значения заключаются между

Поскольку совокупность всех значений в промежутке ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точную нижнюю границу [42]. Обозначим первую через , а вторую через а. Докажем теперь первое свойство из [35].

Теорема III. Непрерывная в промежутке функция достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.

Нам надо доказать, что в промежутке существует такое значение при котором равно р, и такое значение котором равно а. Ограничимся доказательством первого утверждения и будем доказывать от обратного. Положим, что ни при каком из не равно (следовательно, всегда меньше ). Составим новую функцию

Поскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция также будет непрерывной в промежутке . С другой стороны, из определения точной верхней границы следует, что при произвольном существуют для лежащие между При этом: Поскольку s можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке функция не ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы I.

Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть непрерывна в и k — некоторое число, лежащее между Для определенности положим, что Составим новую функцию

непрерывную в промежутке Ее значения на концах промежутка будут

т. е. значения на концах промежутка — разных знаков. Если мы докажем, что внутри есть такое значение при котором то при этом и второе свойство будет доказано. Итак, достаточно доказать следующую теорему:

Теорема IV. Если непрерывна в промежутке разных знаков, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение при котором

Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть нигде в промежутке не обращается в нуль. При этом новая функция

будет также непрерывной в промежутке

Пусть задано какое-нибудь . В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы промежутка, мы будем иметь разность значений в любых двух соседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чем е. Принимая во внимание, что разных знаков, мы «можем утверждать, что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точек и в которых разных знаков. Итак, с одной разных знаков и, с другой стороны, Но если у двух вещественных чисел разных знаков абсолютное значение разности меньше , то каждое из этих чисел по абсолютному значению меньше , т. е. например,

Но тогда, в силу и ввиду того, что можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке функция не ограничена в этом промежутке, что нелепо. Теорема, таким образом, доказана.