153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка.

В [68] мы ввели понятие о частных производных и полном дифференциале функции двух переменных. Эти понятия могут быть распространены и на случай функции любого числа переменных Для примера рассмотрим функцию четырех переменных

Частной производной от этой функции по называется предел

если он существует, и для обозначения этой частной производной употребляют символы

Аналогично определяются частные производные и по другим переменным.

Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов:

где дифференциалы независимых переменных (произвольные величины, не зависящие от

Дифференциал есть главная часть приращения функции:

а именно (cp. [68]):

где стремятся к нулю, если стремятся к нулю, причем предполагается, что функция w имеет непрерывные частные производные внутри некоторой области, содержащей точку (х, у, z, t) внутри себя.

Точно так же может быть обобщено и правило дифференцирования сложных функций. Предположим, например, что х, у и z суть не независимые переменные, но функции независимой переменной t. Функция w будет в этом случае зависеть от t как непосредственно, так и через посредство , и полная производная от w по t будет иметь выражение

Мы не останавливаемся на доказательстве этого правила, так как оно состоит в буквальном повторении того, что мы говорили в [69]. Если переменные х, у, z зависят, кроме и от других независимых переменных, то в правой части формулы (8) мы должны вместо писать частные производные

В этом случае и функция w будет, кроме зависеть и от других независимых переменных, и в левой части равенства (8) мы также должны заменить на Но эта последняя частная производная отлична от частной производной стоящей в правой части равенства (8) и вычисленной лишь поскольку w непосредственно зависит от для отличия эту частную производную, вычисленную непосредственно по t, заключают иногда в скобки, так что равенство (8) принимает в рассматриваемом случае вид

В случае функции от одной переменной, мы видели, что выражение ее первого дифференциала не зависит от выбора независимой переменной [50]. Покажем, что это свойство остается справедливым и в случае функции от нескольких переменных.

Рассмотрим для определенности случай функции от двух переменных

Положим, что х и у суть функции независимых переменных и и v. Согласно правилу дифференцирования сложных функций, имеем

Полный дифференциал функции по определению равен

Подставляя выражения частных производных, получим

Но выражения, стоящие в круглых скобках, суть полные дифференциалы х и у, и мы можем написать

т. е. дифференциал сложной функции имеет то же выражение, которое он имел бы, если бы х, у были независимыми переменными.

Свойство это позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

где — функции нескольких независимых переменных. Действительно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написать