191. Уравнение третьей степени.

Мы не будем подробно заниматься вопросом о фактическом вычислении корней алгебраических уравнений. Вопрос этот излагается в учебниках по приближенным вычислениям.

Мы остановимся лишь на случае уравнения третьей степени и укажем также некоторые методы вычисления, которые будут полезны и в дальнейшем. Начнем с исследования уравнения третьей степени

Вместо у введем новую неизвестную полагая

Подставив это в левую часть уравнения (13), получим уравнение

Если положим то член с пропадает, и, следовательно, подстановка

преобразует уравнение (13) к виду

не содержащему члена с

Если и q — вещественны, то уравнение (14) может иметь или все три вещественных корня, или один вещественный и два мнимых сопряженных корня [189]. Чтобы решить, какой из этих случаев имеет место, составим первую производную левой части уравнения

Если , то все время возрастает и будет иметь лишь один вещественный корень, ибо при переходе от функция меняет знак на . Положим теперь, что Функция как нетрудно видеть, будет иметь максимум при и минимум при Подставляя эти значения в выражение функции получим для максимального и минимального, значений этой функции, соответственно, выражения

Если оба эти значения одного знака, т. е.

или

то уравнение имеет только оцин вещественный корень, который заключается в промежутке или в промежутке

Если же упомянутое выше максимальное значение имеет знак а минимальное (—), т. е.

то будут иметь соответственно знаки и уравнение (14) будет иметь три вещественных корня.

Заметим, кроме того, что при наверно, выполнено условие (15. Предоставляем читателю показать, что в случае

уравнение (14) имеет кратный корень и корень причем мы считаем и из (153) следует При мы имеем неравенство и уравнение (14) принимает вид , откуда следует, что уравнение (14) имеет один вещественный корень [175]. При уравнение (14) будет: и имеет корень третьей кратности.

Полученные результаты собраны в следующей таблице:

Рис. 182.

На рис. 182 изображен график функции

при различных предположениях относительно в случае (153) двойному корню соответствует точка касания кривой с осью ОХ.

Выведем теперь формулу, выражающую корни уравнения (14) через его коэффициенты. Формула эта для практических вычислений не годится, и в следующем номере мы, пользуясь тригонометрическими функциями, извлечем из нее практически удобный способ вычисления корней.

Вместо неизвестных введем две новые неизвестные и и v, полагая

Подставим в уравнение (14)

Неизвестные и и v подчиним условию

и тогда уравнение (17) дает нам

Таким образом, вопрос привелся к решению двух уравнений:

Возводя обе части первого из уравнений в куб, имеем

и, следовательно, суть корни квадратного уравнения

т. е.

Окончательно, согласно формуле (16), найдем

Эта формула для решения кубического уравнения (14) носит название формулы Кардана — итальянского математика XVI столетия.

Обозначим для краткости через выражения, стоящие под знаком кубических корней в формуле (20):

Каждый из кубических корней имеет три различных значения [175], так что написанная формула даст, вообще говоря, девять различных значений и только три из них будут корнями уравнения (14). Посторонние значения получились вследствие того, что мы возводили первое из уравнений (18) в третью степень. Для нас могут подойти лишь те значения, для коих и к v связаны первым из соотношений (18), т. е. в формуле (20) мы должны брать только те значения корней кубических, произведение которых равно

Обозначим буквою одно из значений кубического корня из единицы:

и пусть какие-либо значения корней, удовлетворяющие указанному выше условию. Умножая их на получим все три значения корня [175].

Принимая во внимание, что получим следующее выражение для корней уравнения (14), считая — любыми комплексными: