95. Теорема о среднем.

VII. Если в промежутке функции удовлетворяют условию

то и

короче говоря, неравенства можно интегрировать.

Составим разность

В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, то же можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит к неравенству (8).

Рис. 122.

Приведем еще геометрическое пояснение сказанного. Допустим сперва, что обе кривые

лежат над осью ОХ (рис. 122). Тогда фигура, ограниченная кривой осью ОХ и ординатами лежит целиком внутри аналогичной фигуры, ограниченной кривой а потому площадь первой фигуры не превосходит площади второй, т. е.

Общий случай какого угодно расположения данных кривых относительно оси ОХ при сохранении условия (7) приводится к предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кривые оказались над осью ОХ; это передвижение прибавит к каждой функции одно и то же слагаемое с.

Легко показать, что если в (7) имеет место знак то и в (8) имеет место знак Напомним, что функции считаются непрерывными.

Следствие. Если в промежутке

то

В самом деле, условия (9) равносильны следующим:

Интегрируя эти неравенства в пределах от а до b (свойство VII) и пользуясь (5), получаем

что равносильно неравенствам (10).

Полагая получаем из (10) важное неравенство:

которое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы: абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае, когда не меняет знака в промежутке

Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема. Теорема о среднем. Если функция сохраняет знак в промежутке то

где I есть некоторое значение, принадлежащее промежутку

Будем для определенности считать в промежутке и обозначим через и М соответственно наименьшее и наибольшее значения в промежутке (а, b). Так как, очевидно,

(причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда постоянна) и , то

и в силу свойства VII, считая

Отсюда ясно, что существует такое число Р, удовлетворяющее неравенству что

Так как функция непрерывна, она принимает в промежутке все значения, лежащие между наименьшим и наибольшим М, в том числе и значение Поэтому найдется такое значение внутри промежутка для которого

что и доказывает формулу (11).

Если в промежутке то в промежутке Применяя к ней доказанную теорему, получим

вынося знак за знак интеграла и умножая обе части на придем к формуле (11).

Точно так же, если то из предыдущего следует формула:

Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, во всей общности.

В частности, полагая получим важный частный случай теоремы о среднем:

Рис. 123.

Значение определенного интеграла равно произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой переменной.

Если эту длину нужно взять со знаком (—). Геометрически предложение это равносильно, тому, что, рассматривая площадь, ограниченную любой кривой, осью ОХ и двумя ординатами всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием () и с высотой, равной одной из ординат кривой в промежутке (а, b) (рис. 123).

Нетрудно показать, что число 5, входящее в формулу () или (13), всегда можно считать лежащим внутри промежутка