150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Пусть R — радиус сходимости ряда

Интегрируя его почленно от 0 до и дифференцируя его, мы получим два других степенных ряда

Покажем, что они имеют тот же радиус сходимости R. Для этого надо показать, что они сходятся, если и расходятся, если

По доказанному, ряд (72) сходится равномерно во всяком промежутке где силу свойства 2) из [146] его можно в этом промежутке интегрировать почленно от 0 до т. е. можно утверждать, что ряд (73) сходится при любом для которого и что при этом сумма ряда (73) равна

где сумма ряда (72). Покажем теперь, что и ряд (74) сходится, если . Возьмем такое выберем какое-нибудь число , лежащее между т. е.

и положим

Для членов ряда (74) получаем оценку

и, в силу предыдущего,

Применяя к ряду признак Даламбера, нетрудно показать, что он сходится при и, следовательно [119],

а. потому, при всех достаточно больших :

Но в силу (75), ряд сходится абсолютно, а потому и ряд (74) сходится абсолютно при взятом значении Итак, оба ряда (73) и (74) сходятся, если , т. е. при почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда его радиус сходимости не может уменьшиться.

Но отсюда непосредственно следует, что он не может и увеличиться. Действительно, если бы, например, радиус сходимости ряда (73) был причем то дифференцировании ряда (73) мы получили бы ряд (72), и его радиус сходимости должен быть не меньше R, а по условию он равен R, причем Итак, ряды (73) и (74) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (72). Дифференцируя ряд (74) еще раз, получим, в силу доказанного выше, степенной ряд

с тем же радиусом сходимости R и т. д. То же будем иметь и при повторном почленном интегрировании ряда (73) от 0 до Все полученные от почленного дифференцирования и от почленного интегрирования от 0 до ряды равномерно сходятся во всяком промежутке удовлетворяющем условию (70). Вспоминая свойства 1), 2) и 3) из [146], можем сформулировать следующий результат.

Сумма степенного ряда

радиус сходимости которого есть R, есть непрерывная внутри промежутка т. е. при Функция, имеющая внутри этого промежутка производные всех порядков. Эти производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (77). Последовательное почленное интегрирование от 0 до при также может производиться почленным интегрированием ряда (77). Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда не меняют его радиуса сходимости.

Отметим, что промежуток может быть и открытым промежутком т. е. все сказанное справедливо и для того случая, когда радиус сходимости ряда (77) равен бесконечности.

Полагая

мы получаем, таким образом,

откуда следует при

Подставив эти выражения для в (78), получим

т. e. степенной ряд совпадает с разложением своей суммы по формуле Маклорена.

Изложенная теория степенных рядов распространяется без труда на степенные ряды вида

Везде роль будет играть разность . Радиус сходимости R ряда (79) определяется из того условия, что ряд сходится при и расходится при Если обозначить через сумму ряда (79) в промежутке

то для коэффициентов получаем выражение

т. е. ряд (79) в промежутке (80) совпадает с разложением своей суммы в ряд Тейлора.

Мы вернемся еще к теории степенных рядов в третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной.

В качестве примера предлагается вывести из теории степенных рядов разложения функций заметив, что

и исследовать область применимости полученных разложений.