158. Пример.

Рассмотрим в качестве примера уравнение

которое определяет как функцию от х и у. Дифференцируя по получим

и точно так же, дифференцируя по у, получим

откуда

Дифференцируя соотношение (19) по х и по у, а соотношение (19) по у, получим

откуда

Покажем теперь другой способ вычисления частных производных, основанный на применении выражения полного дифференциала функции. Докажем предварительно вспомогательную теорему.

Пусть нам удалось каким-нибудь образом получить выражение полного дифференциала функции двух независимых переменных х и у в виде

С другой стороны, мы знаем, что

Сравнивая эти два выражения, получим

Но dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, суть величины произвольные. Полагая или получим

Итак, если полный дифференциал функции двух независимых переменных и у может быть представлен в виде

то .

Теорема эта справедлива и для функции любого числа независимых переменных. Совершенно так же можно показать, что если дифференциал второго порядка может быть представлен в виде

Вернемся теперь к рассмотренному примеру. Вместо того, чтобы определять производные левой части соотношения (18) по х и у, определим ее дифференциал, помня, что выражение первого дифференциала не зависит от выбора независимых переменных [153]:

откуда

и, следовательно, в силу доказанной теоремы,

Определим теперь дифференциал левой части соотношения (20), принимая во внимание, что должны считаться при этом постоянными:

или

и, следовательно

Таким образом, определив дифференциал некоторого порядка, мы получим все частные производные соответствующего порядка.