167. Относительные максимумы и минимумы.

До сих пор мы рассматривали максимумы и минимумы функции, предполагая, что те переменные, от которых функция зависит, суть независимые переменные. В подобных случаях максимумы и минимумы называются абсолютными. Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями.

В подобных случаях максимумы и минимумы называются относительными.

Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции

от переменных которые связаны соотношениями

В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргументов у функций. Разрешая соотношений (17) относительно переменных, например,

мы выразим их через остальные независимых переменных

подставляя эти выражения в функцию получим функцию от независимых переменных, т. е. придем к задаче отыскания абсолютных максимумов и минимумов. Но такое разрешение системы (17) часто бывает практически затруднительным и даже невыполнимым, и мы укажем другой способ решения задачи, способ множителей Лагранжа.

Пусть в некоторой точке функция достигает относительного максимума или минимума. Предполагая существование производных в точке М, можем утверждать, что полный дифференциал функции должен обращаться в нуль в точке М [162]:

С другой стороны, дифференцируя соотношения (17), получим в той же точке М следующие равенств:

Умножим эти последние уравнения на неопределенные пока множители

и сложим их все почленно друг с другом и с соотношением (18):

Определим эти множителей так, чтобы коэффициенты при дифференциалах

зависимых переменных были равны нулю, т. е. определим из равенств

Тогда в левой части соотношения (19) останутся лишь члены, содержащие дифференциалы независимых переменных

то

Но дифференциалы независимых переменных суть величины произвольные. Приравнивая один из них единице, а остальные нулю, мы видим, что из равенства (21) вытекает, что все коэффициенты этого равенства должны быть равны нулю [158], то есть

Надо считать, что во всех предыдущих формулах, начиная с (18), переменные заменены координатами той точки М, в которой достигает, по предположению, относительного максимума или минимума. В частности, это относится и к уравнениям (20), из которых должны быть определены

Таким образом, уравнения (22), (20) и (17) выражают необходимое условие того, что в точке достигается относительный максимум или минимум.

Уравнения (22), (20) к (17) дадут нам уравнений для определения переменных множителей

Из системы (22) и (20) видно, что для определения тех значений переменных при которых функция f достигает относительного максимума или минимума, надо приравнять нулю частные производные по всем от функции Ф, определяемой равенством

считая постоянными, и присоединить уравнений связи (17).

В следующем параграфе мы кратко изложим вопрос о достаточных условиях.

Отметим, что при выводе указанного правила мы предположили не только существование производных у функций но и возможность определения множителей из уравнения (20). В связи с этим указанное правило может не дать нам некоторых значений для которых достигается относительный максимум или минимум. Мы выясним сейчас более подробно это обстоятельство в простейших случаях и уточним теорию.