49. Таблица производных и примеры.

Приведем таблицу всех выведенных нами правил дифференцирования.

Применим выведенные правила к нескольким примерам.

Применяя правила 3, 6 и 2, получим

Применяя правило 6, получим

3. .

Полагая применим правила 18, 6 и 9:

4. .

Полагая применим те же правила:

5. .

Полагая сначала и затем применим два эаза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:

Положим и применим правила 18, 6 и 5:

Применяя правило 17, получим

8. Функция у задана уравнением

как неявная функция от Требуется найти производную у.

Если бы решили данное уравнение относительно у, то получили бы y=f(x), левая часть уравнения после подстановки очевидно, обращается тождественно в нуль. Но производная от нуля как производная от постоянной, равна нулю, а потому, если мы продифференцируем левую часть данного уравнения но считая, что у есть заданная этим уравнением функция от то должны получить нуль:

В этом случае, как мы видим, у выражается не только через но и через у, но зато нам не пришлось для отыскания производной решать уравнение (5) относительно т. е. находить явное выражение функции.

Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение у дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (х, у).