79. Циклоида.

Вообразим круг радиуса а, который катится без скольжения по неподвижной прямой. Геометрическое место, описанное при таком движении некоторой точкой М окружности круга, называется циклоидой.

Примем прямую, по которой катится круг, за ось ОХ; за начало координат примем начальное положение точки М, когда окружность касается в ней оси ОХ, и через t обозначим угол поворота окружности. Обозначим далее: через С — центр окружности, через - точку касания окружности в ее некотором положении с осью ОХ, через - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ, и через - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на диаметр окружности (рис. 94).

Рис. 93.

Рис. 94.

Принимая во внимание, что ввиду отсутствия скольжения

можем выразить координаты точки М, описывающей циклоиду, через параметр

Это и дает нам параметрическое представление циклоиды.

Заметим прежде всего, что достаточно рассмотреть изменение t в промежутке , который соответствует полному обороту окружности. После этого полного оборота точка М опять совпадает с точкой касания О окружности и оси но только передвинется на отрезок

Часть кривой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна с дугой ОО и получится, если мы перенесем эту дугу на отрезок вправо, и т. д. Вычислим теперь первые и вторые производные от х и у по t:

Угловой коэффициент касательной в силу первой из формул (33) будет:

Формула эта приводит к простому способу построения касательной к циклоиде. Соединим точку с точкой М кривой. Угол есть вписанный угол, опирающийся на дугу и, следовательно, он равен

Из прямоугольного треугольника получим (рис. 94):

Сравнивая это выражение с выражением для у, видим, что прямая и есть касательная к циклоиде, то есть:

Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке М, достаточно соединить эту точку с концом того диаметра катящегося круга, другой конец которого находится в точке касания окружности и оси ОХ.

Прямая соединяющая точку М с другим концом только что упомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой так как угол опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая MN есть нормаль к циклоиде. Длина нормали определится непосредственно из прямоугольного треугольника

Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой (34) и выражениями (36):

В последнем выражении мы оставляем лишь знак так как для первой ветви циклоиды t заключается в промежутке не может быть величиной отрицательной.

Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали , будем иметь , т. е. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длине нормали ( на рис. 94).

Если бы точка М, которая описывала циклоиду, лежала не на окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала бы кривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной циклоидой (иногда обе эти кривые называют трохоидой).

Рис. 95.

Рис. 96.

Назовем через h расстояние СМ точки М от центра катящегося круга. Остальные обозначения оставим те же.

Разберем сначала случай , т. е. тот случай, когда точка М находится внутри круга (рис. 95). Непосредственно из чертежа имеем:

В случае уравнения будут те же, но кривая примет вид, указанный на рис. 96.