103. Длина дуги.

Пусть имеется дуга АВ некоторой кривой. Впишем в нее ломаную линию (рис. 134) и будем увеличивать число сторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от того, какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой, а упомянутый предел называется длиной этой дуги.

Это же определение длины годится и для замкнутой кривой.

Пусть кривая задана явным уравнением причем точкам А и В соответствуют значения и пусть имеет непрерывную производную в промежутке которому и соответствует дуга АВ. Мы покажем, что при этих условиях дуга АВ спрямляема и что ее длина выражается определенным интегралом.

Пусть вписанная ломаная, причем ее вершинам соответствуют значения

и обозначим

Принимая во внимание формулу для длины отрезка из аналитической геометрии, для периметра ломаной получим следующую формулу

Пользуясь формулой конечных приращений

получим для длины отдельной стороны ломаной выражение

из которого мы видим, что требование того, чтобы наибольшая из сторон стремилась к нулю, равносильно требованию, чтобы наибольшая из разностей стремилась к нулю. Для периметра ломаной получаем выражение

а оно действительно имеет предел, равный интегралу

Таким образом, длина l дуги АВ выражается формулой

Пусть какие-либо два значения из промежутка соответствующие точки на дуге АВ. Применяя теорему о среднем, получаем следующую формулу для длины t дуги

Для длины хорды пользуясь формулой конечных приращений, получаем формулу

Отсюда следует

Если точки стремятся к точке М с абсциссой х, то , а тем самым , и из последней формулы мы получаем

Этим мы пользовались в [701.

Положим теперь, что кривая задана параметрически

причем точкам А и В соответствуют значения и Мы предполагаем, что значениям t из промежутка соответствуют точки кривой А В так, что различным t соответствуют различные точки этой кривой, которая сама себя не пересекает и не замкнута (рис. 134). Далее мы предполагаем, что в промежутке существуют непрерывные производные и . Пусть, как и выше, вписанная ломаная и соответствующие значения параметра t Для периметра ломаной получим выражение

или, применяя формулу конечных приращений,

Можно показать, что требование того, чтобы наибольшая из сторон ломаной стремилась к нулю, равносильно требованию того, чтобы наибольшая из разностей стремилась к нулю. Это может быть доказано и без предположения существования производных

Выражение (13) отличается от суммы, дающей в пределе интеграл Р

ввиду того, что аргументы вообще говоря, различны. Введем сумму

которая в пределе дает интеграл (14).

Для того чтобы доказать, что и сумма (13) стремится к пределу (14), надо показать, что разность

стремится к нулю.

Умножая и деля на сумму радикалов, получим

Так как

то

Числа и принадлежат промежутку и, в силу равномерной непрерывности в промежутке можно утверждать, что наибольшая из величин которую мы обозначим через , стремится к нулю, если наибольшая из разностей стремится к нулю. Но из предыдущей формулы следует:

откуда очевидно, что . Таким образом, сумма (13), выражающая периметр вписанной ломаной, стремится к интегралу (14), т. е.

Эта формула для длины l остается справедливой и в случае замкнутой кривой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например, разбить замкнутую кривую на две незамкнутые, к каждой применить формулу (16) и сложить полученные значения . Точно так же, если некоторая кривая L состоит из конечного числа кривых , каждая из которых имеет параметрическое представление, удовлетворяющее указанным выше условиям, то, вычисляя по формуле (15) Длину каждой кривой и складывая эти длины, получим длину кривой

Рассмотрим переменное значение t из промежутка которому соответствует переменная точка М дуги АВ. Длина дуги AM будет функцией от и будет выражаться формулой

Принимая во внимание правило дифференцирования интеграла по верхнему пределу, получим

то есть

откуда, принимая во внимание, что

получаем формулу для дифференциала дуги [70]

а формула (15) может быть, без указания переменной интегрирования, переписана в виде

Пределы (А) и (В) указывают на начальную и конечную точки линии.

Если при всех t из , то, согласно (17), мы получим производную от параметра t по

Наличие непрерывных производных при условии гарантирует нам непрерывно изменяющуюся касательную вдоль А В.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением

то, введя прямоугольные координаты х и у, связанные с полярными соотношениями

[82], мы можем рассматривать эти уравнения, как параметрическое задание кривой с параметром .

Мы имеем тогда

откуда,

и если точкам А и В соответствуют значения полярного угла (рис. 135), то формула (15) даст нам

Рис. 135.

Выражение для которое называется дифференциалом дуги в полярных координатах, можно получить и непосредственно из чертежа, заменив бесконечно малую дугу ММ ее хордой и вычислив последнюю, как гипотенузу прямоугольного треугольника катеты которого MN и NM приближенно равны, соответственно,

Примеры. 1. Длина дуги s параболы отсчитываемой от вершины (0, 0) до переменной точки с абсциссой по формуле (12) выражается интегралом

(мы положили

В силу примера 11 [92] имеем

Подставив это в (21), получим без труда

2. Длина эллипса

в силу симметричности его относительно осей координат, равна учетверенной длине той его части, которая лежит в первом координатном углу. Представив эллине параметрически уравнениями

и заметив, что точкам А и В соответствуют значения параметра и мы получим для искомой длины l следующее выражение по формуле (15):

Интеграл этот не может быть вычислен в конечном виде; для него можно указать только способ приближенного вычисления, который будет приведен ниже.

3. Длина дуги логарифмической спирали

[83], отсекаемой радиусами-векторами в силу (20) выражается интегралом

4. В [78] мы рассматривали цепную линию, пусть есть какая-либо ее точка. Вычислим длину дуги AM (рис. 93). Принимая во внимание выражение для ) из [78], получим

откуда

т. е. длина дуги AM равна катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна ординате точки М, и другой катет которого равен а. Мы получаем, таким образом, следующее правило построения длины дуги . Из вершины А цепной линии, как центра, надо описать окружность радиусом, равным ординате точки М; отрезок оси ОХ от начала координат О до точки пересечения Q оси ОХ с упомянутой окружностью и будет представлять собою спрямленную (рис. 93).

В предыдущих формулах при выборе знаков мы руководились тем обстоятельством, что для точек, лежащих на правой части цепной линии, у имеет знак

Для циклоиды, рассмотренной в определим длину дуги l ветви (рис. 94) и площадь S, ограниченную этой ветвью и осью ОХ:

т е. длина дуги одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметру катящегося круга;

т. е. площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды и той неподвижной прямой, которой катится круг, рдвяя утроенной площади катящегося круга.

Вычисляя , при извлечении корня мы должны выбрать арифметическое значение корня, что и сделали, ибо при изменении t от 0 до функция положительна.

6. Кардиоида, рассмотренная в [84], симметрична относительно полярной оси (рис. 111), а потому для вычисления ее длины l достаточно вычислить длину дуги при изменении в в промежутке () и полученный результат удвоить:

т. е. длина дуги кардиоиды в восемь раз больше диаметра катящегося (или неподвижного) круга.