132. Разложение log(1+x).

Это разложение можно получить из общей теории, но мы применим другой способ, который с успехом употребляется и во многих других случаях.

Выразим в виде определенного интеграла. Мы имеем, очевидно, при

то

Но имеет место тождество

которое непосредственно получается, если делить единицу на и остановиться на остатке . Таким образом,

где

Ряд

для которого

наверно расходящийся при (следствие [121]), а потому нужно рассматривать только случай При этом случай также должен быть отброшен, ибо при функция обращается в бесконечность.

Итак, остаются случаи: . В случае 1), применяя к выражению (36) для теорему о среднем [95] и принимая во внимание, что не меняет знака при изменение t от О до имеем

откуда, в силу условия следует

Множитель в правой части предыдущего неравенства остается ограниченным при всех значениях так как заключается между пределами 1 и не зависящими от , а потому при рассматриваемых значениях

Тот же результат мы получим и в случае 2), когда . Та же формула (37) при показывает

т. е. опять

Итак, разложение

имеет место при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам

В частности, при имеем равенство

о котором уже было упомянуто выше [123]. Формула (38) непосредственно для вычисления логарифмов не годится, так как в ней предполагается, что удовлетворяет неравенствам (39) и, кроме того, ряд в правой части ее сходится недостаточно быстро. Ее можно преобразовать в более удобный для вычислений вид. Для этого подставим в равенство

(-х) вместо х, что дает

и вычтем почленно. Мы получим

Положив здесь

мы имеем

или

Эта формула годится уже при всех положительных значениях а и z, так как при этом заключается между нулем и единицей. Она тем более удобна для вычисления, чем меньше дробь или, что то же, чем меньше z по сравнению с а.

Формула (41) весьма полезна для вычисления логарифмов. Хотя фактически таблица логарифмов была вычислена не с помощью рядов, которые во время Непера и Бригга были еще неизвестны, все же формула (41) может с успехом применяться для проверки и для быстрого вычисления таблицы логарифмов. Положим в и возьмем последовательно , мы получим

где ряды, обозначенные через Р, Q, R, сходятся весьма быстро. Эти равенства дают нам уравнения

для определения чисел решая которые, найдем без труда

Полученные таким путем логарифмы будут натуральными; с их помощью мы находим модуль М десятичной системы логарифмов:

зная который, можем от натуральных логарифмов переходить к десятичным по формуле

Аналогичным путем, пользуясь разложениями на множители

мы вычислим .

Определив логарифмы простых чисел, мы уже без помощи рядов, а только одними сложениями и умножениями на целые множители определим и логарифмы составных чисел, которые, как известно, всегда можно разложить на простые множители.