§ 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

67. Основные понятия.

До сих пор мы рассматривали функцию одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функцию двух независимых переменных

Для определения частных значений такой функции должны быть заданы значения независимых переменных: Каждой такой паре значений х и у соответствует определенная точка на координатной плоскости с координатами и вместо того, чтобы говорить о значении функции при можно говорить о значении функции в точке плоскости. Функция может быть определена на всей плоскости или только в некоторой ее части, в некоторой области. Если f(x, у) есть целый многочлен от например,

то можно считать, что эта формула определяет функцию на всей плоскости. Формула

определяет функцию внутри окружности с центром в начале координат и радиусом единица и на самой окружности, где . Аналогом промежутка на плоскости является область, определяемая неравенствами Это — прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем граница этого прямоугольника также включается в область. Неравенства определяют только внутренние точки прямоугольника. Если граница области причисляется к ней, то область называется замкнутой. Если граница не причисляется к области, то область называется открытой [ср. 4]. Определим понятие предела для функции двух переменных [ср. 32]. Положим, что функция определена во всех точках (х, у), достаточно близких к точке

Определение. Говорят, что число А есть предел при стремлении и пишут

если для любого заданного положительного числа существует такое положительное число , что

При этом предполагается, что исключена пара значений не совпадает с . Если точка лежит на границе той области, в которой определена то М, стремящаяся к должна принадлежать области, в которой определена функция

Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек стремящаяся к т. е. такая, что последовательность имеет предел а последовательность предел b. Можно доказать, что если последовательность чисел для любой такой последовательности точек имеет один и тот же предел то А есть предел при стремлении в смысле сформулированного выше определения.

Положим, что определена в точках и во всех точках, достаточно близких к

Определение. Функция называется непрерывной в точке если

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Так, например, функция непрерывна внутри круга, в котором она определена. Про нее можно также сказать, что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и его границу, т. е. окружность, на которой

Пусть В — ограниченная замкнутая область на плоскости и — непрерывная в В функция (непрерывная внутри В и вплоть до границы В). Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной, непрерывной в конечном замкнутом промежутке [35]. Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства из [43]. Сформулируем лишь результаты.

1. Функция равномерно непрерывна в В, т. е. при любом заданном полоэюительном числе существует такое положительное число что

если принадлежат В и

2. Функция f(x, у) ограничена в В, т. е. существует такое положительное число М, что для всех принадлежащих В.

3. Функция достигает в В наибольшего и наименьшего значений.

Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из определений непрерывности функций. Если непрерывна в точке и если мы положим , то функция одной переменной непрерывна при Аналогично, непрерывна при .