58. Максимумы и минимумы функций.

Обратимся вновь к рассмотрению графика некоторой функции На этом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Дуга соответствует промежутку возрастания.

Рис. 56.

Следующая за ней дуга — промежутку убывания, следующая опять промежутку возрастания и т. д. Те точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, являются вершинами кривой. Рассмотрим, например, вершину Ордината в этой вершине больше всех ординат кривой, достаточно близких к рассматриваемой и лежащих как слева, так и справа от нее. Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции

Это приводит к следующему общему аналитическому определению: функция достигает максимума в точке если ее значение в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках, т. е. если приращение функции

при всяких h как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.

Обратимся к рассмотрению вершины В этой вершине, наоборот, ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих как слева, так и справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум функции; аналитическое определение будет: функция достигает минимума в точке если

при всяких h, как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.

Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих максимуму функции, так и в вершинах, соответствующих минимуму, касательная параллельна оси ОХ, т. е. ее угловой коэффициент равен нулю. При этом предполагается, конечно, что касательная и тем самым производная существуют. Но параллельность касательной оси ОХ может иметь место и не только в вершинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы имеем точку кривой М, которая не является вершиной и в которой все же касательная параллельна оси ОХ.

Рис. 57.

Положим, что обращается в нуль при некотором значении т. е. в соответствующем месте графика касательная параллельна оси ОХ. Исследуем знак при значениях близких к Рассмотрим следующие три случая.

I. При значениях меньших и достаточно близких к положительна, а при значениях больших и достаточно близких к о» отрицательна, т. е., иными словами, при переходе через переходит через нуль от положительных значений к отрицательным.

В этом случае мы имеем слева от промежуток возрастания и справа — промежуток убывания, т. е. значению соответствует вершина кривой, дающая максимум функции

II. При значениях меньших отрицательна, а при значениях больших положительна, т. е. при переходе через нуль идет от отрицательных значений к положительным.

В этом случае слева от точки мы имеем промежуток убывания, а справа — промежуток возрастания, т. е. значению соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56).

III. При значениях как меньших, так и больших имеет один и тот же знак. Положим, например, что это есть знак

В этом случае соответствующая точка графика лежит внутри промежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. 57).

Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения тех значений при которых достигает максимума или минимума;

1) нужно составить

2) найти те значения при которых обращается в нуль, т. е. решить уравнение исследовать изменения знака при переходе через эти значения по следующей схеме:

Обозначения в приведенной таблице показывают, что нужно определить знаки функции при значениях меньших и больших но достаточно близких, так что h считается достаточно малым положительным числом.

При этом исследовании предполагается, что но при всех достаточно близких к и отличных от отлична от нуля.

Обратим еще снимание, что в случае рис. 57 касательная в точке М с абсциссою находится по разные стороны от кривой в окрестности этой точки. В данном случае при всех близких к и отличных от и весь участок кривой с точкой внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то, что

Иногда вместо указанного выше определения максимума дают несколько другое, а именно: функция достигает максимума в точке если ее значение в этой точке не меньше ее значений в ближайших точках, т. е. если приращение функции при всяких как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине. Аналогично минимум в точке можно определить неравенством . Если при этом определении функция имеет в точке максимума или минимума производную, то эта производная должна, как и выше, обращаться в нуль.

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции

Составим первую производную

Из последнего выражения видно, что обращается в нуль при следующих значениях независимой переменной:

Переходим к их исследованию. множитель имеет знак плюс, множитель минус. При всех значениях как меньших, так и больших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множителей будут те же самые и, следовательно, произведение этих двух множителей имеет безусловный знак минус при всех значениях достаточно близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрению последнего множителя который как раз обращается в нуль при . В случае он имеет знак минус, а при плюс. Таким образом, все произведение, т. е. имеет при знак плюс и при знак минус. Откуда следует, что значению соответствует максимум функции . Подставляя значение в выражение самой функции мы получим величину найденного максимума, т. е. ординату соответствующей вершины графика функции

Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений мы получим следующую табличку:

В указанном нами способе исследования максимумов и минимумов функции представляется несколько затруднительным, особенно в более сложных примерах, определение знака при значениях как меньших, так и больших испытуемого. Во многих случаях этого можно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производную . Положим, что нам надо испытать значение при котором . Подставим это значение в выражение второй производной и положим, что мы получили положительную величину, т. е. . Если принять за основную функцию, то будет ее производной и положительность этой производной в точке показывает, что сама основная функция возрастает в соответствующей точке, т. е. при переходе через нуль в точке должна идти от отрицательных значений к положительным. Таким образом, в случае в точке функция будет достигать минимума. Точно так же можно показать, что в случае в точке функция достигает максимума.

Если, наконец, при подстановке в выражение мы получим нуль, т. е. , то пользование второй производной не дает возможности исследовать значение и приходится обращаться к непосредственному исследованию знака Мы получаем, таким образом, изображенную в таблице схему:

Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что при наличии производной второго порядка необходимым условием максимума является неравенство , а необходимым условием минимума — неравенство . При этом мы можем определять максимум условием и минимум — условием как мы об этом говорили выше.

Пример. Требуется найти максимумы и минимумы функции

Эта функция имеет период , т. е. не меняется при замене на Достаточно исследовать промежуток изменения от 0 до . Составим производные первого и второго порядка

Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение

Корни этого уравнения из промежутка будут

Исследуем эти значения по знаку

В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов. Может случиться, что на графике функции имеются такие точки, в которых касательной или вовсе нет или она параллельна оси OY (рис. 58).

В точках первого рода производная вовсе не будет существовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности, так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси О К, равен бесконечности.

Но, как непосредственно видно из чертежа, в таких точках может встретиться максимум или минимум функции. Таким образом, мы должны, строго говоря, дополнить предыдущее правило нахождения максимумов и минимумов следующим указанием: максимум и минимум функции может встретиться не только в тех точках, где обращается в нуль, но и в тех точках, где она не существует или обращается в бесконечность. Исследование таких точек надо производить по первой из схем, указанных выше, а именно — путем определения знака при значениях, меньших и больших исследуемого.

Рис. 58.

Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаем непрерывной функции с непрерывной производной, имеющей конечное число нулей в исследуемом промежутке. При последнем замечании отсутствие производной допускается также в конечном числе точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеют целью быть наглядным введением в исследование свойств функций. Далее мы вернемся к строгому аналитическому изложению.

Пример. Требуется найти максимумы и минимумы функции

Составим первую производную

Она обращается в нуль при и в бесконечность при

Исследуем последнее значение: числитель написанной выше дроби имеет при знак минус и при всех значениях как больших, так и меньших нуля, но близких к нему, он будет иметь тот же знак. Знаменатель дроби при имеет знак минус, а при знак плюс. Следовательно, вся дробь имеет при и близких к нулю знак плюс, а при знак минус, т. е. при мы имеем максимум . В точке будем иметь минимум