100. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям [91] для определенных интегралов может быть написана в виде:

Действительно, интегрируя почленно тождество [91]

получим

но в силу свойства IX [96],

что и дает формулу (25). Считается, конечно, что и имеют непрерывные производные в промежутке

Пример. Вычислить интегралы

Положим

Интегрируя по частям, имеем

т. е.

откуда, решая относительно

Формула эта называется формулой приведения, так как приводит вычисление интеграла к такому же интегралу, но с меньшим значком ().

Различим теперь два случая в зависимости от того, есть ли число четное или нечетное.

1. (четное). Имеем, в силу (26),

и так как

то окончательно

2. (нечетное). Аналогично предыдущему находим

а потому

Интеграл

можно вычислить таким же путем, но проще привести его к предыдущему, заметив, что

откуда, положив

на основании формулы (23) и свойства II [94] имеем

Объединяя полученные результаты, можем написать