§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных.

Для простоты письма ограничимся случаем функции от двух независимых переменных. Формула Тейлора дает разложение по степеням h и k приращений независимых переменных [127]. Введем новую независимую переменную t, полагая

Мы получим, таким образом, функцию одной независимой переменной

причем

Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом Лагранжа, можем написать [127]:

Выразим теперь производные и через функцию Из формулы (1) мы видим, что и у суть линейные функции независимой переменной t и

Мы можем поэтому пользоваться символической формулой при определении дифференциала любого порядка функции

откуда

При имеем при имеем а потому

Подставляя эти выражения в формулу (3) и пользуясь еще формулами (2), получим окончательно формулу Тейлора

Заменяя в этой формуле а на и обозначая приращения Ник независимых переменных через а приращение функции, т. е. через можем написать формулу в следующем виде:

Правая часть этой формулы содержит дифференциалы различных порядков функции а в последнем члене указаны те значения независимых переменных, которые надо подставить в производные порядка, входящие в этот член. Аналогично случаю функции от одной независимой переменной формула Маклорена, дающая разложение функции по степеням у, выводится из формулы Тейлора (4), если положить там

При выводе формулы (4) мы предполагали, что функция имеет непрерывные частные производные до порядка в некоторой открытой области, содержащей отрезок прямой, соединяющий точки При изменении t от нуля до единицы, переменная точка описывает упомянутый отрезок. При получаем формулу конечных приращений

Отсюда, как и в [63], непосредственно следует, что если внутри некоторой области частные производные первого порядка равны везде нулю, то функция сохраняет внутри упомянутой области постоянное значение.