121. Признаки Коши и Даламбера.

3. Признак Коши. Если общий член ряда с положительными членами (11)

начиная с некоторого значения , удовлетворяет неравенству

где q не зависит от , то ряд сходится.

Если же, наоборот, начиная с некоторого значения, имеем

то ряд (11) расходится.

Не ограничивая общности, можем допустить, что неравенства (18) или (19) выполняются при всех значениях (свойство III [119]). Если выполнено (18), то

т. е. общий член данного ряда не превосходит соответствующего члена бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а потому, в силу 2, ряд будет сходящимся. В случае же (19) имеем

и ряд (11), общий член которого не стремится к нулю (больше единицы), не может быть сходящимся (свойство IV [119]).

4. Признак Даламбера. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему начиная с некоторого значения , удовлетворяет неравенству

где q не зависит от , то ряд (11) сходится.

Если же, наоборот, начиная с некоторого значения , имеем

то данный ряд расходится.

Допустив, как и раньше, что неравенства (20) или (21) выполняются при всех значениях в случае (20), мы имеем

откуда, перемножая почленно и сокращая общие множители,

т. е. члены ряда меньше членов убывающей геометрической прогрессии

и, в силу 2, ряд (11) сходится. В случае же (21)

т. е. члены ряда не убывают по мере удаления от начала, следовательно, не стремится к нулю при и ряд сходиться не может (свойство IV [119]).

Следствие. Если при беспредельном возрастании

стремится к конечному пределу , то ряд

сходится при условии и расходится при условии .

Пусть сперва . Выберем число настолько малым, чтобы было также и

При больших значениях величина или будет отличаться

от своего предела не больше, чем на , т. е. мы, начиная с некоторого достаточно большого значения , будем иметь

или

Применяя признаки Коши или Даламбера при силу или , сразу заключаем о сходимости данного ряда.

Аналогичным образом доказывается и расходимость его при условии или если хоть одно из выражений (22) стремится к .

Примеры. 1. Ряд

Применяя признак Даламбера

а потому данный ряд сходится при всех конечных значениях х (положительных).

Здесь мы имеем

а потому, по признаку Даламбера, данный ряд сходится при и расходится при

Применяя признак Коши, имеем

а потому данный ряд сходится, если

Признак Даламбера в данном случае не дает никакого результата, ибо отношение

не стремится ни к какому пределу и даже не остается все время или 1.

Вообще можно показать, что признак Коши сильнее признака Даламбера, т. е. он может применяться во всех случаях, когда применяется признак Даламбера, но сверх того и в некоторых других, когда последний не может применяться. Но зато пользование им сложнее, чем признаком Даламбера, в чем нетрудно убедиться хотя бы на первых двух из разобранных выше примерах.

Заметим, далее, что бывают случаи, когда и признак Коши и признак Даламбера применяться не могут; это случается, например, всякий раз, когда

т. е. когда . Мы имеем тогда дело с сомнительным случаем, когда вопрос о сходимости или расходимости должен быть разрешен каким-либо иным путем.

Так, например, для гармонического ряда

который, как мы видели в [119], есть ряд расходящийся, мы имеем

и, таким образом, вопрос о сходимости или расходимости гармонического ряда не мог быть решен с помощью признаков Коши или Даламбера.

С другой стороны, дальше мы докажем, что ряд

есть ряд сходящийся.

Но для него мы имеем опять

т. е. опять-таки сомнительный случай, если применять признаки Коши или Даламбера.