115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм.

Пусть конечный промежуток разбит на конечное число частей промежуточными значениями

Такое разбиение будем обозначать одной буквой ; значения называются точками деления . У различных разбиений число частичных промежутков и точки деления вообще говоря, различны. Длины частичных промежутков для разбиения (1) обозначим: . Пусть ограниченная функция, заданная на промежутке Напишем сумму, соответствующую разбиению 8 (1), предел которой, если он существует, дает определенный интеграл от по промежутку

Она зависит от и выбора точек Рассмотрим множество значений в промежутке . В силу ограниченности функции это — ограниченное множество. Обозначим через точную нижнюю и через точную верхнюю границы значений в промежутке и в слагаемых суммы (2) заменим на а также на Мы получим две суммы, зависящие только от разбиения 8 промежутка

Из определения тк и непосредственно следует

откуда ввиду положительности будем иметь

Пусть, как и выше, и М — точные нижняя и верхняя границы значений на всем промежутке Используя лемму 1, нетрудно видеть, что имеют место неравенства

и, кроме того, очевидно,

Умножая неравенства (5) на положительные числа и суммируя по k от до , получим

т. е. множество значений при всевозможных разбиениях 8 ограничено сверху и снизу. Обозначим буквою i точную верхнюю границу множества значений и буквою - точную нижнюю границу значений при всевозможных разбиениях :

Отметим, что неотрицательная разность называется обычно колебанием функции на промежутке Разность есть колебания функции на промежутке

Введем теперь некоторые новые понятия. Разбиение V промежутка назовем продолжением разбиения , если всякая точка деления есть и точка деления , т. е. получается из добавлением новых точек деления (если не совпадает с ). Если и — два разбиения, то произведением их назовем такое разбиение точки деления которого получаются объединением точек деления как так и . Произведение разбиений обозначим символом Это понятие применимо и для нескольких сомножителей. Разбиение является, очевидно, продолжением как разбиения так и разбиения .

Лемма 2. Если разбиение есть продолжение разбиения , то

При переходе от к каждый из промежутков подразделения может разбиться на части. Положим, например, что этот промежуток разбился на три части длины которых и пусть верхние границы множества значений в указанных промежутках. В силу леммы и сумма Слагаемое суммы при переходе к заменяется суммой трех слагаемых:

и, в силу сказанного выше,

т. e. при переходе от к каждое слагаемое суммы или заменяется конечной суммой, которая меньше или равна или остается без изменения. Отсюда и следует, что Совершенно аналогично доказывается, что и лемма доказана.

Принимая во внимание, что положительны, легко видеть, что при одном и том же мы имеем

Покажем, что такое же неравенство имеет место и для любых различных разбиений.

Лемма 3. Если и - любые два разбиения, то

Рассмотрим произведение разбиений . Поскольку есть продолжение , из леммы 2 следует, что и и пользуясь неравенством получаем Лемма доказана.

Из этой леммы непосредственно следует, что верхняя грань i множества значений при всевозможных разбиениях 8 и нижняя грань 1 для удовлетворяют неравенствам

Займемся теперь суммами с , которые удовлетворяют неравенствам (4). При фиксированном разбиении , в силу определения можно при любом k выбрать так, чтобы было сколько угодно близко к или даже (в некоторых случаях) совпадало с т. е. можно выбрать так, чтобы сумма о была сколь угодно близкой к или даже в некоторых случаях, чтобы с совпадало с . С другой стороны, в силу (4), о Отсюда следует, что есть точная верхняя граница значений а при всевозможных выборах Аналогично доказывается, что есть точная нижняя граница значений , т. е. имеет место

Лемма 4. При фиксированном разбиении величина есть точная нижняя граница значений о при всевозможных выборах а ) есть точная верхняя граница множества значений при тех же условиях.