146. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Если в предыдущих предложениях мы будем считать суммой первых членов данного ряда

a s(х) - суммой всего ряда, то непосредственно получим аналогичные предложения для рядов с переменными членами.

1. Если члены ряда

непрерывные в промежутке функции и ряд сходится равномерно, то и сумма его есть непрерывная функция в промежутке

Если члены ряда (55) непрерывные в промежутке функции и ряд сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать между какими угодно пределами , лежащими в промежутке т. е.

Если пределы интегрирования переменные, например, то ряду который получается почленным интегрированием

также равномерно сходится в промежутке

3. Если ряд (55) сходится в промежутке и его члены имеют непрерывные в промежутке производные и причем ряд, составленный из производных

сходится равномерно в промежутке то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно, т. е.

При выводе этих предложений из теорем [145] надо только иметь в виду, что указанные в предложениях свойства имеют, как мы уже знаем, место в случае конечного числа слагаемых. Так, например, если члены ряда суть непрерывные функции, то и функции

непрерывны при любом [34].