96. Существование первообразной функции.
VIII. Если верхний предел определенного интеграла есть величина переменная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
Заметим, что величина интеграла
при данной подынтегральной функции 
зависит от пределов интегрирования а и b. Рассмотрим интеграл
с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом 
причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в отличие от верхнего предела 
Величина этого интеграла будет функцией верхнего предела 
и, надо доказать, что
Для доказательства вычислим производную функцию 
исходя из определения производной 
Мы имеем
(в силу свойства IV), откуда
причем
Применяя (13), имеем
где h может быть как положительным, так и отрицательным, если 
при 
при 
Число 
принадлежит промежутку, концы которого суть 
так что если h стремится к нулю, то 
стремится к 
в силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно следует, что 
непрерывная функция при 
т. е. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, непрерывная функция в промежутке 
Деля обе части последней формулы на 
и устремляя 
к нулю 
при 
при 
получим
Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы уже говорили в [46].
Из предыдущего следует также, что:
IX. Всякая непрерывная функция 
имеет первообразную функцию или неопределенный интеграл.
Функция (14) есть та первообразная функция для 
которая обращается в нуль при 
Если 
есть одно из выражений первообразной функции, то, как мы видели в [88],
