§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

126. Формула Тейлора.

Рассмотрим многочлен степени:

придадим приращение h и вычислим соответствующее значение функции Это значение, очевидно, можно разложить по степеням раскрывая различные степени по формуле бинома Ньютона и располагая окончательный результат по степеням h. Коэффициенты при различных степенях h будут многочленами, зависящими от

и нужно только определить многочлены:

Для этого мы изменим обозначения, написав в тождестве (1) а вместо и вместо просто Тогда окажется

и, вместо (1), мы получим

Для определения положим в этом тождестве что даст

Для определения продифференцируем тождество (2) по и затем положим

Дифференцируя еще один раз по и полагая затем получим

Продолжая эти операции, дифференцируя k раз и полагая затем мы получим

Итак, мы имеем

после чего формула (2) примет вид

Эта формула верна только в том случае, когда есть многочлен степени не выше и она дает разложение такого многочлена по степеням разности а).

Положим теперь, что не многочлен, а какая-либо функция, определенная внутри некоторого промежутка и имеющая непрерывные производные до порядка Пусть значение находится внутри . В дальнейшем считаем, что принадлежит

Обозначим через разность между и правой частью формулы (3), т. е. положим

Дифференцируем последовательно это тождество:

Полагая в (4) и последних тождествах х - а, получаем

Дифференцируя последнее из равенств еще один раз, найдем

Из соотношений (5) и (6) мы без труда получим выражение для ибо по основной формуле интегрального исчисления

откуда, принимая во внимание (5) и интегрируя по частям, выводим последовательно

Для уяснения сделанных преобразований заметим следующее. Переменная интегрирования обозначена буквой так что под знаком интеграла надо считать постоянным и дифференциал равным нулю, и потому, например,

и, вообще,

Точно так же выражение

обращается в нуль, так как при подстановке обращается в нуль множитель а при подстановке множитель в силу (5).

Мы получаем таким путем следующее важное предложение: Формула Тейлора. Всякая функция имеющая внутри некоторого промежутка, содержащего точку внутри себя, непрерывные производные до порядка включительно, при всех значениях внутри этого промежутка может быть разложена по степеням разности в виде

где остаточный член формулы, имеет вид

Весьма часто в приложениях встречается другая форма остаточного члена, которая непосредственно получается из (8) при применении теоремы о среднем [95]. Под знаком интеграла в правой части формулы (8) функция сохраняет знак, а потому по теореме о среднем мы имеем

Подставляя верхний и нижний пределы, получим

так как при написанное выражение обращается в нуль. Подставляя это в предыдущую формулу, будем иметь

где есть некоторое среднее значение, лежащее между а и х. Эта форма остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа, и формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа будет