2. Число.

Число, которое получается в результате измерения, может быть целым (если единица содержится целое число раз в измеряемой величине), дробным, или рациональным (если существует другая единица, которая содержится целое число раз как в измеряемой величине, так и в выбранной раньше единице, — короче, когда измеряемая величина соизмерима с единицей меры), и, наконец, иррациональным (когда такой общей меры не существует, т. е. данная величина оказывается несоизмеримой с единицей меры).

Так, например, в элементарной геометрии доказывается, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, так что, если мы будем измерять диагональ квадрата, приняв за единицу длины его сторону, то полученное при измерении число 2 будет иррациональным. Иррациональным же оказывается и число , измеряющее длину окружности, диаметр которой принят за единицу.

Для уяснения понятия об иррациональном числе полезно обратиться к десятичным дробям» Всякое рациональное число, как известно из арифметики, может быть представлено или в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной дроби, причем в последнем случае бесконечная дробь будет периодической (чистой периодической или смешанной периодической). Так, например, производя деление числителя на знаменатель по правилу деления десятичных дробей, мы получим

Наоборот, как известно из арифметики, всякая периодическая десятичная дробь выражает рациональное число.

При измерении величины, несоизмеримой с принятой единицей, мы можем сначала подсчитать, сколько раз полная единица заключается в измеряемой величине, затем сколько раз десятая доля единицы заключается в полученном остатке величины, затем сколько раз сотая доля единицы заключается в новом остатке и т. д. Таким путем при измерении величины, несоизмеримой с единицей, будет образовываться некоторая бесконечная непериодическая десятичная дробь Всякому иррациональному числу соответствует такая бесконечная дробь и, наоборот, всякой бесконечной непериодической десятичной дроби соответствует некоторое иррациональное число. Если в этой бесконечной десятичной дроби оставить лишь несколько первых десятичных знаков, то получится приближенное значение по недостатку иррационального числа, представляемого этой дробью.

Так, например, извлекая квадратный корень по обычному правилу до третьего десятичного знака, получим

Числа 1,414 и 1,415 будут приближенными значениями с точностью до одной тысячной по недостатку и по избытку.

Пользуясь десятичными знаками, можно иррациональные числа сравнивать по величине друг с другом и с рациональными числами.

Во многих случаях приходится рассматривать величины разных знаков: положительные и отрицательные (температура выше и ниже 0° и т. п.). Такие величины выражаются соответственно положительными и отрицательными числами. Если и - положительные числа и то , и любое положительное число, включая нуль, больше любого отрицательного числа.

Все рациональные и иррациональные числа располагаются в некотором определенном порядке по своей величине. Все эти числа образуют совокупность вещественных кисел.

Отметим одно обстоятельство, связанное с представлением вещественных чисел десятичными дробями. Вместо любой конечной десятичной дроби мы можем написать бесконечную десятичную дробь с девяткой в периоде. Так, например: Если не пользоваться конечными десятичными дробями, то получится точное биоднозначное соответствие между вещественными числами и бесконечными десятичными дробями, т. е. всякому вещественному числу соответствует бесконечная десятичная дробь и всякой бесконечной десятичной дроби соответствует вещественное число. Отрицательным числам соответствуют бесконечные десятичные дроби с предшествующим им знаком минус.

В области вещественных чисел выполнимы первые четыре действия, кроме деления на нуль. Корень нечетной степени из любого вещественного числа имеет всегда одно определенное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые различаются только знаком. Корень четной степени из отрицательного вещественного числа не имеет смысла в области вещественных чисел

Строгая теория вещественных чисел и действий над ними будет нами изложена в [40].

Арифметическим, или абсолютным, значением числа а называется само число а, если а — положительное число или нуль, и число —а, если а — отрицательное число. Абсолютное значение числа а обозначается символом так что если и , если . Так, например, и вообще .

Нетрудно видеть, что абсолютное значение суммы будет равно сумме абсолютных значений слагаемых, т. е. равно только в том случае, если слагаемые имеют одинаковый знак, а при разных знаках слагаемых так что во всех случаях

Так, например, при мы имеем знак равенства, а при и имеем , т. е. знак неравенства.

Точно так же легко видеть, что

причем считается, что При неравенство также справедливо, ибо слева стоит положительная величина, а справа — отрицательная.

Абсолютное значение произведения равно произведению абсолютных значений сомножителей, и абсолютное значение частного (делитель отличен от нуля) равно частному абсолютных значений делимого и делителя, т. е.