22. Показательная и логарифмическая функции.

Возвращаемся теперь к исследованию элементарных функций. Показательная функция определяется уравнением

причем мы считаем, что основание а есть заданное положительное число (отличное от единицы). При целом положительном значение очевидно. При дробном положительном выражение определяется как радикал причем, в случае четного q, мы условливаемся брать положительное значение радикала. Не входя сейчас в подробное рассмотрение значений при иррациональном заметим только, что мы получим приближенные значения при рациональном все с большей степенью точности, если заменим иррациональное х его приближенными значениями так, как это было указано выше [2]. Например, приближенными значениями где, как известно, будут

Вычисление при отрицательном сводится к вычислению положительном в силу формулы: являющейся определением степени при отрицательном показателе. Из упомянутого выше соглашения считать радикалы в выражении всегда положительными вытекает, что функция при любых вещественных всегда положительна.

Рис. 29.

Кроме того, можно показать, на чем мы не останавливаемся, что при функция возрастающая функция, а при убывающая функция. Более подробное исследование этой функции будет нами дано дальше [44].

На рис. 29 изображены графики функции (15) при различных значениях а. Отметим некоторые особенности графиков на рис. 29.

Прежде всего при любом мы имеем по определению следовательно, при любом а график функции (15) проходит через точку на оси ОY, т. е. через точку с координатами (0,1). Если , то кривая идет слева направо (в сторону возрастающих х), поднимаясь беспредельно вверх, а при движении влево кривая беспредельно приближается к оси ОХ, нигде ее не достигая.

При расположение кривой относительно осей будет иным. При движении направо кривая беспредельно приближается к оси ОХ, а при движении влево беспредельно уходит вверх. Так как всегда положительно, то график, конечно, всегда расположен над осью ОХ. Заметим еще, что график функции можно получить из графика функции у поворачивая чертеж вокруг оси О К на 180°. Это вытекает непосредственно из того, что при упомянутом повороте переходит в

Заметим еще, что если то и при всяком значении мы имеем

Логарифмическая функция определяется уравнением

По определению логарифма функция (16) будет обратной для функции (15). Мы можем, таким образом, получить график логарифмической функции (рис. 30) из графика показательной, повернув кривые рис. 29 на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла.

Рис. 30.

Рис. 31.

Ввиду возрастания функции (15) при обратная функция (16) будет также однозначной возрастающей функцией от причем, как это видно из рис. 29, функция (16) определена лишь при (отрицательные числа не имеют логарифмов). Все графики рис. 30, соответствующие различным значениям а, пересекают ось ОХ в точке х = 1. Это соответствует тому факту, что логарифм единицы при любом основании равен нулю. На рис. 31 изображен для ясности один график функции

С понятием о логарифмической функции тесно связаны понятия о логарифмической шкале и теория логарифмической линейки.

Логарифмической шкалой называется такая шкала, нанесенная на данной прямой, длина делений которой соответствует не самому числу, обозначающему деление, а его логарифму, обыкновенно по основанию 10 (рис. 32).

Таким образом, если при некотором делении шкалы стоит число то длина равна не Длина отрезка между двумя точками шкалы, обозначенными через будет равняться (рис. 32)

для получения же логарифма произведения достаточно к отрезку прибавить отрезок так как полученный таким путем отрезок будет равен

Таким образом, имея логарифмическую шкалу, можно приводить умножение и деление чисел просто к сложению и вычитанию отрезков на шкале, что проще всего осуществляется на практике с помощью двух тождественных шкал, из коих одна может скользить вдоль другой (рис. 32 и 33).

Рис. 32.

В этом и заключается основная идея устройства логарифмической линейки.

Рис. 33.

Для вычислений часто употребляется логарифмическая бумага, которая представляет собой разграфленный лист, причем, однако, точки деления на осях ОХ и ОY соответствуют не обыкновенной, а логарифмической шкале.