§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ

57. Признаки возрастания и убывания функций.

Знание производной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именно с вопроса о возрастании и убывании функции.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции, т. е. если

Наоборот, если мы имеем:

то функция называется убывающей.

Рис. 55.

Если мы обратимся к графику функции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых большим абсциссам соответствуют и ббльшие ординаты. Если мы, как это сделано на рис. 55, направим ось ОХ вправо и ось OY наверх, то промежутку возрастания функции будут соответствовать такие части графика, что при движении вдоль кривой вправо в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль кривой вправо. На рис. 55 часть графика АВ соответствует промежутку возрастания, а часть ВС — промежутку убывания.

Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси ОХ угол а, отсчитываемый от оси ОХ до касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этого угла есть как раз первая производная . Наоборот, на участке ВС направление касательной образует с направлением ОХ угол а (в четвертой четверти), тангенс которого отрицателен, т. е. для этого случая будет величиной отрицательной. Сопоставляя полученные результаты, мы приходим к следующему правилу: те промежутки, в которых суть промежутки возрастания Функции, а те промежутки, в которых , суть промежутки убывания функции.

Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство. Сейчас же мы применим полученное правило к некоторым примерам.

1. Докажем неравенство

Для этого составим разность

Определим производную

Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга больше своего синуса, можем утверждать, что в промежутке т. е. в этом промежутке возрастает, но и потому

т. е.

2. Точно так же можно доказать неравенство

Составим разность

откуда

Из этого выражения видно, что при возрастает в промежутке , но и, следовательно,

т. е.

3. Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]:

Мы можем переписать его в виде

Составляя производную получим

Принимая во внимание, что произведение по абсолютному значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулем и единицей, можем утверждать, что при любом значении а потому возрастает в промежутке следовательно, не может обратиться более одного раза в нуль, т. е. уравнение Кеплера не может иметь более одного вещественного корня.

Если постоянная а кратна , т. е. , где k — целое число, то, непосредственно подставляя получим будет единственным корнем уравнения Кеплера. Если а не кратно , то можно найти такое целое число что

Подставляя получим

Но если разных знаков, то должно обращаться в нуль внутри промежутка , т. е. внутри этого промежутка будет находиться единственный корень уравнения Кеплера.

4. Рассмотрим уравнение

Составим производную и приравняем ее нулю:

Решая это биквадратное уравнение, получим, что обращается в нуль при

Таким образом, весь промежуток мы можем разбить на пять промежутков:

внутри которых сохраняет уже неизменный знак, а потому меняется монотонно, т. е. или возрастает или убывает, и не может поэтому внутри каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Если на концах какого-либо из этих промежутков имеет разные знаки, то уравнение имеет внутри такого промежутка один корень, а если эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежутка корней нет. Таким образом, для определения числа корней уравнения остается определить знаки на концах каждого из пяти указанных промежутков.

Для определения знака при представим в виде

При стремлении стремится к ибо при этом стремится к , а выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3. Точно так же убедимся в том, что при стремлении стремится к . Подставляя значения х = - 2,-1, 1 и 2, получим следующую таблицу:

Оказывается, что имеет разные знаки только на концах промежутка и, следовательно, рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень, заключающийся внутри этого промежутка.

Выше мы определили возрастание и убывание функции в промежутке. Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке Это значит следующее: функция возрастает при если при при причем считается достаточно близким к Аналогично определяется убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственно вытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке а именно, если то функция возрастает в точке и если то функция убывает в точке Действительно, если, например, то отношение

имеющее предел будет также положительным при всех достаточно малых по абсолютной величине, т. е. числитель и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет: при при что и дает возрастание в точке