§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

25. Упорядоченное переменное.

Когда мы говорили о независимой переменной для нас было важно лишь множество тех значений, которые может принимать Например, это могло быть множество значений, удовлетворяющих неравенству Сейчас мы будем рассматривать переменную величину принимающую последовательно бесчисленное множество значений, т. е. сейчас для нас является важным не только множество значений но и тот порядок, в котором она принимает эти значения. Точнее говоря, предполагается следующее: 1) если два значения переменной величины то имеется возможность отличить среди них предыдущее и последующее, причем если предшествует предшествует то предшествует никакое значение х не является последним, т. е. какое бы значение переменной величины мы ни взяли, существует бесчисленное множество значений, следующих за ним. Такую переменную величину называют упорядоченной переменной. В дальнейшем мы для краткости просто будем говорить переменная величина. Отвлекаясь, как всегда, от конкретного характера величины (длина, вес и т. д.) термином „упорядоченная переменная величина" или просто „переменная величина“ обозначают всю бесконечную последовательность ее значений, т. е. бесконечную последовательность чисел.

Важным частным случаем упорядоченной переменной величины является тот случай, когда имеется возможность пронумеровать всю ее последовательность значений (первое, второе, третье и т. д.):

так что из двух значений то является последующим, которое имеет больший значок. В качестве примера положим, что общий член последовательности определяется формулой так что последовательность имеет вид

Пусть, далее, есть десятичная дробь, у которой целая часть равна нулю, а после запятой стоит единиц; получим последовательность

Вставляя между двумя числами последовательности (1) число нуль, получим новую последовательность

для которой и т. д.

Среди значений этой переменной величины встречаются и одинаковые, а именно при четном . Отметим, что переменная (1) убывающая, т. е. всякое ее значение меньше всех предшествующих значений, а переменная (2) возрастающая, т. е. всякое ее значение больше всех предшествующих. Переменная (3) не является ни убывающей, ни возрастающей.

Укажем теперь примеры упорядоченной переменной, значения которой нельзя пронумеровать. Положим, что переменная величина принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству , где а и k — некоторые числа . При этом считается, что из двух значений последующим является большее. Иначе говоря, переменная величина возрастает, принимая все значения из промежутка замкнутого слева и открытого справа. Она принимает любые значения из этого промежутка меньшие а, но не принимает значения а. Первым значением переменной является значение , а дальнейшая нумерация значений переменной невозможна. Если мы положим, что возрастающая переменная удовлетворяет не неравенству , а неравенству , то при этом нет и первого значения переменной . Совершенно аналогично можно рассматривать и убывающую переменную х на промежутке или на промежутке .

Укажем теперь пример, аналогичный предыдущим, но в котором переменная не является ни возрастающей, ни убывающей. Переменная величина принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству а кроме значения . Если х и у — различные значения х, у которых абсолютные величины разностей различны, то последующим считается то, у которого эта абсолютная величина меньше (то, которое ближе на оси ОХ к а), а если отличаются лишь знаком одинаково удалены от а, но находятся на оси ОХ с разных сторон от а), то последующим считается то, у которого указанная разность отрицательна (то, которое на оси ОХ лежит слева от а). В этом примере переменная приближается к а на промежутке а с разных сторон, принимая все значения, кроме первое значение переменной второе а дальнейшая нумерация невозможна. Если вместо промежутка а взять промежуток при прежнем определении порядка изменения то нет возможности указать и первое значение

В дальнейшем мы часто будем иметь дело с переменными величинами, связанными функциональной зависимостью. Пусть переменная есть функция переменной .

В соответствии с этим введем обознание Пусть t — некоторое упорядоченное переменное. Этим создается и упорядоченность значений х(t), а именно, если f и длежат последовательности значений предшествует то считаем, что среди значений значение предшествует x(t). В дальнейшем мы будем иметь в основном те случаи, когда среди значений упорядоченной переменной t нет одинаковых. Но может принимать и одинаковые значения при различных t. Естественно сказать, что упорядоченное переменное t упорядочивает переменную или является упорядочивающей переменной для Отметим, что для пронумерованной переменной роль t играет значок т. е. в этом случае t принимает последовательные значения и таким образом нумерует значения переменной

Возникает вопрос о действиях над упорядоченными переменными. Если, например, х и у — упорядоченные переменные, то без предварительных соглашений неясно, что обозначает сумма или произведение ибо как так и у принимают бесчисленное множество значений, и остается неясным, какие значения х и у надо складывать или перемножать, чтобы получить новую переменную х + у или ху. Если х и у — пронумерованные переменные, а последовательные значения х и у, то сумма определяется как пронумерованное переменное, имеющее последовательность значений

В общем случае для определения действия над упорядоченными переменными необходимо, чтобы они имели одну и ту же упорядочивающую переменную. Пусть переменные х и у — функции одной и той же упорядоченной переменной t, которая упорядочивает Сумма х и у определяется как упорядоченная переменная которая упорядочивается той же переменной

Для явлений, происходящих во времени, последовательность значений переменной величины может естественно устанавливаться их последовательностью во времени, и часто пользуются схемою времени и применяют термины „до“ и „после" вместо „предыдущее" и „последующее" значения.

Настоящий параграф посвящен в основном теории пределов, являющейся основою современного математического анализа. В этой теории рассматриваются некоторые основные случаи изменения величин.