109. Формула касательных и формула Понселе.

Увеличим теперь число делений вдвое, подразделив каждое из делений пополам. Мы получим таким путем делений (рис. 148):

которым будут соответствовать ординаты:

(ординаты будем называть четными, ординаты нечетными).

В конце каждой нечетной ординаты проведем касательную до пересечения ее с двумя соседними четными ординатами и заменим данную площадь суммою площадей построенных таким путем трапеций. Полученная таким

При достаточном сужении полоски, т. е. при уменьшении ее ширины точка сколь угодно мало будет отстоять от середины Р отрезка прямой вследствие чего можем писать приближенные равенства

Далее, масса полоски, равная ее площади может быть приравнена площади прямоугольника с основанием и высотой, сколь угодно мало отличающейся от длины отрезка т. е.

Применяя формулу (31), можем написать

Из формулы (35) вытекает

Теорема II Гульдина. Объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести при вращении.

В самом деле, приняв ось вращения за ось ОХ, нетрудно заметить, что объем рассматриваемого тела вращения V равен разности объемов тел, получаемых при вращении кривой и кривой а потому, согласно (24) [105],

в силу (35), что и требовалось доказать.

Полученные две теоремы Гульдина весьма полезны как при определении поверхности или объема фигур вращения, когда известно положение центра тяжести вращающейся фигуры, так и обратно — при определении центра тяжести фигуры, когда известны объем или поверхность производимой ею фигуры вращения.

Примеры. 1. Найти объем V кольца (тора), получаемого при вращении круга радиуса (рис. 144) вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии а от центра (причем , т. е. ось вращения не пересекает окружность).

Рис. 144.

Центр тяжести вращающегося круга находится, очевидно, в его центре, а потому длина пути, описываемого центром тяжести при вращении, равна Площадь вращающейся фигуры равна а потому по теореме И Гульдина имеем

2. Найти поверхность F кольца, рассмотренного в примере 1.

Длина вращающейся окружности равна центр тяжести по-прежнему совпадает с центром окружности, а потому в силу теоремы 1 Гульдина имеем

Рис. 145

3. Найти центр тяжести G полукруга радиуса а. Примем основание полукруга за ось ОХ и направим ось OY по перпендикуляру к ОХ, восставленному в центре (рис. 145); в силу симметричности фигуры относительно оси ОУ ясно, что центр тяжести G лежит на оси ОY. Остается найти только Для этой цели применим теорему II Гульдина. Тело, получаемое при вращении полукруга вокруг оси есть шар радиуса и его объем равен Площадь S вращающейся фигуры равна а потому

4. Найти центр тяжести G полуокружности радиуса а.

Выбирая координатные оси, как и в предыдущем примере, видим опять, что искомый центр G лежит на оси ОY, так что остается найти . Применяя теорему I Гульдина и заметив, что поверхность тела вращения F в данном случае равна длина получим

Как и следовало ожидать, центр тяжести полуокружности лежит ближе к ней, чем центр тяжести ограничиваемого ею полукруга.

Образом приближенная формула называется формулой касательных:

Одновременно с предыдущими описанными трапециями рассмотрим вписанные трапеции, которые получим, соединив хордами концы соседних нечетных ординат; присовокупим к ним еще две крайние трапеции, образованные хордами, соединяющими концы ординат . Сумму площадей полученных трапеций обозначим через

Если кривая промежутке не имеет точек перегиба, т. е. только выпукла или только вогнута, то площадь S кривой заключается между площадями и и естественно поэтому принять за приближенное выражение для S среднее арифметическое что дает формулу Понс еле:

Нетрудно видеть, что погрешность этой формулы при сделанном предположении о виде кривой не превосходит абсолютного значения

причем выражение, стоящее в скобках, равно, как это нетрудно показать из свойства средней линии трапеции, отрезку средней ординаты, отсекаемому хордами, соединяющими между собой концы крайних четных и крайних нечетных ординат.