160. Кривые в пространстве и поверхности.

Начнем с указания некоторых фактов, известных из аналитической геометрии. Пусть трехмерное пространство отнесено к прямолинейным прямоугольным осям ОХ, OY, OZ, так что всякая точка определяется координатами х, у, z. Пусть — какая-либо тройка чисел, причем по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Такой тройке чисел соответствует два прямо противоположных направления в пространстве, у которых направляющие косинусы (косинусы углов, образованных этими направлениями с осями OZ) пропорциональны числам .

Упомянутые косинусы выражаются формулами:

Выбор знака у радикала (верхнего или нижнего) определяет одно из прямо противоположных направлений.

Пусть имеются две тройки чисел Равенство

выражает условие перпендикулярности соответствующих этим тройкам чисел направлений.

Как известно из аналитической геометрии, всякому уравнению с тремя переменными

или в явной форме

соответствует, вообще говоря, некоторая поверхность в пространстве, отнесенном к прямоугольным осям

Линия в пространстве может быть рассматриваема, как пересечение некоторых двух поверхностей, и может быть, следовательно, определена совокупностью двух уравнений

Иначе кривую можно определить в параметрической форме уравнениями:

Длина дуги кривой, как и в случае плоской кривой, определяется как предел периметров ломаных линий, вписанных в эту дугу, при беспредельном уменьшении каждой из сторон этой ломаной. Рассуждения, которые мы не будем приводить, так как они совершенно аналогичны рассуждениям [103] в случае плоской кривой, показывают, что длина дуги выражается определенным интегралом

где и суть значения параметра t, соответствующие концам дуги, и дифференциал дуги имеет выражение

Если роль параметра t играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от некоторой определенной точки ее, то совершенно так же, как это мы делали в случае плоской кривой [70], можно показать, что производные равны направляющим косинусам касательной к кривой, т. е. равны косинусам углов, образованных положительным направлением этой касательной с осями координат.

Принимая во внимание (32) и (33), мы получаем для этих косинусов формулы:

при соответствующем выборе знака у радикала, зависящем от выбора направления касательной.

Выше мы считали, что функции (32) имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из них отлична от нуля. Таким образом, направляющие косинусы касательной к кривой в точке пропорциональны или dx, dy, dz и уравнение касательной может быть написано в виде

или

Введем теперь новое понятие, а именно понятие касательной плоскости к поверхности

Пусть — некоторая точка этой поверхности и L — линия (32), лежащая на поверхности и проходящая через точку MQ, так что при некотором имеем Предполагаем, что у функции (37) в точке и ее окрестности имеются непрерывные частные производные по , причем по крайней мере одна из этих производных отлична от нуля. Пусть аналогичное свойство имеют и функции (32) при и в окрестности этого значения.

Если подставим (32) в левую часть уравнения (37), то получим тождество по t, поскольку L лежит на поверхности (37). Дифференцируя это тождество по получим

где вместо x, у, z надо подставить функции (32), и в точке

Как видели, пропорциональны направляющим косинусам касательной к линии L в точке и равенство (38) показывает, что касательная в точке к любой линии L, лежащей на поверхности (37) и проходящей через точку перпендикулярна к некоторому определенному, не зависящему от выбора L направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональны числам . Мы видим, таким образом, что касательные в точке ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку лежат в одной и той же плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности (37) в точке Она проходит, очевидно, через точку Пусть

- уравнение этой плоскости. Как известно из аналитической геометрии, коэффициенты А, В, С должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой плоскости, т. е. в данном случае пропорциональны . В дальнейшем вместо точки мы применим общее обозначение точки .

Таким образом, А, В и С должны быть пропорциональны , и, следовательно, уравнение касательной плоскости окончательно может быть написано в виде:

где — текущие координаты касательной плоскости, а — координаты точки касания М.

Нормаль к касательной плоскости, проходящая через точку касания называется нормалью к поверхности. Ее направляющие косинусы пропорциональны, как мы сейчас видели, частным производным и уравнение ее, следовательно, будет

Если поверхность задана уравнением в явной форме: то уравнение (37) будет иметь вид

и, следовательно,

Обозначая, как это обыкновенно делается, частные производные буквами получим уравнение касательной плоскости

и нормали к поверхности

Для эллипсоида

уравнение касательной плоскости в некоторой его точке будет

или

Правая часть этого уравнения равна единице, так как координаты (х, у, z) точки касания должны удовлетворять уравнению эллипсоида, и окончательно уравнение касательной плоскости будет