§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

53. Производные высших порядков.

Производная функции есть, как мы знаем, также функция от Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называется второй производной, или производной второго порядка, первоначальной функции и обозначается так:

Дифференцируя вторую производную, получаем производную третьего порядка, или третью производную:

Применяя таким образом операцию дифференцирования, получим производную любого порядка или

Рассмотрим несколько примеров.

3. Мы знаем, что

т. е. дифференцирование приводится к прибавлению числа у к аргументу, а потому

и, вообще,

5. Рассмотрим сумму функций

Применяя правило дифференцирования суммы и считая, что соответствующие производные функций и, v и w существуют, получим

т. е. производная любого порядка от суммы равна сумме производных того же порядка.

Например,

Таким же путем можно показать, вообще, что производная порядка от многочлена степени равна 0, если

Рассмотрим теперь произведение двух функций Применяя правила дифференцирования произведения и суммы, получим

Мы подмечаем следующий закон составления производных: чтобы составить производную порядка от произведения надо разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить показатели степеней у «ипуказателями порядка производных, причем нулевые степени входящие в крайние члены разлоэюения, заменить самими функциями.

Правило это называется правилом Лейбница и символически его записывают в следующем виде:

Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом доказательства по индукции. Положим, что для производной это правило справеддиво, т. е.

Чтобы получить надо написанную сумму продифференцировать по . При этом произведение в общем члене суммы, согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой в символических обозначениях эту сумму можно написать в виде

Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней указателями порядка производных, мы и получим сумму

Мы видим, таким образом, что для получения надо каждое слагаемое в сумме (1), а потому и всю эту сумму, помножить символически на и, следовательно,

Мы показали, что если правило Лейбница справедливо для некоторого то оно справедливо и для Но непосредственно мы убедились, что оно справедливо для , а следовательно, оно справедливо и для всех значений .

Рассмотрим в качестве примера

и найдем

Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны тождественно нулю и вследствие чего мы получим