§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

114. Предварительные понятия.

Последние номера настоящей главы будут посвящены строгому аналитическому рассмотрению понятия интеграла, и в дальнейшем мы докажем существование определенного предела у суммы вида:

не только для случая непрерывных функций.

Для этого нам необходимо ввести некоторые новые понятия, связанные с рассмотрением разрывных функций.

Пусть функция определена в некотором конечном промежутке Мы будем рассматривать только ограниченные функции, т. е. такие функции, все значения которых в упомянутом промежутке остаются по абсолютной величине меньшими некоторого определенного положительного числа, т. е. функция называется ограниченной в промежутке если существует такое положительное число что при всяком из упомянутого промежутка мы имеем:

Если функция непрерывна, то, как мы уже упоминали [35], она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений, а потому, очевидно, будет и ограниченной. Наоборот, разрывные функции могут быть как ограниченными, так и неограниченными. В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные разрывные функции. Положим, например, что функция имеет график, изображенный на рис. 152. В точке с мы имеем разрыв непрерывности функции, и значение функции в самой точке должно быть определено каким-нибудь образом путем дополнительного условия. В остальных точках промежутка, включая концы а и функция непрерывна. Кроме того, при стремлении переменной к значению от меньших значений, т. е. слева, ордината стремится к определенному пределу, геометрически изображаемому отрезком

Рис. 152.

Точно так же при стремлении к с от больших значений, т. е. справа, стремится тоже к определенному пределу, изображаемому отрезком но этот последний предел отличен от упомянутого выше предела слева. Упомянутый предел слева обозначают обычно символом предел справа — символом Этот наиболее простой разрыв непрерывности функции, при котором существуют конечные определенные пределы как слева, так и справа, называется обычно разрывом первого рода. Значение функции в самой точке будет, вообще говоря, отличным как от так и от и должно быть определено дополнительно. Если функция непрерывна в промежутке включая концы, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, то график такой функции состоит из конечного числа кривых, непрерывных вплоть до своих концов, и из отдельных точек в местах разрыва непрерывности (рис. 153).

Такая функция, несмотря на свою разрывность, будет, очевидно, ограниченной во всем промежутке. Но, конечно, функции и с более сложными разрывами могут быть ограниченными.

Рис. 153.

В дальнейшем мы часто будем рассматривать множества всех значений, которые некоторая функция принимает на каком-либо заданном промежутке изменения независимой переменной. Если взятая функция ограничена в рассматриваемом промежутке, то множество ее значений в этом промежутке ограничено сверху и снизу, а потому это множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы [39]. Если, например, непрерывна в рассматриваемом промежутке (замкнутом), то, как известно [35], она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений. В данном случае эти наибольшее и наименьшее значения функции и будут точными верхней и нижней границами значений в рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим 1 другой пример. Если функция есть возрастающая функция, то она принимает наибольшее значение на правом конце промежутка и наименьшее — на левом. Эти значения, так же как и в предыдущем случае, будут точными верхней и нижней границами значений . В обоих рассмотренных примерах точные границы значений функции сами являлись частными значениями функции, т. е. сами принадлежали к рассматриваемой совокупности значений функции. В более сложных случаях разрывной функции точные границы значений функции могут сами и не являться значениями функции, т. е. могут и не принадлежать к множеству значений функции.

Пусть — точная нижняя граница множества значений ограниченной функции на некотором конечном промежутке и М — точная верхняя граница. Возьмем новый промежуток который является частью

Пусть точные нижняя и верхняя границы множества значений на Так как множество значений на содержится в множестве значений на более широком промежутке то можно утверждать, что , т. е. имеет место

Лемма 1. Если некоторый промежуток заменить его частью, то точная верхняя граница значений не может увеличиться, а точная нижняя граница не может уменьшиться.