102. Площадь сектора.
Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах есть
и двумя радиусами-векторами
проведенными из полюса под углами а и 
к полярной оси, выражается формулой
Для вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь (рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусами-векторами (8) на 
частей.
Рис. 132.
Рассмотрим площадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами 0 и 
Обозначив через 
его площадь, через 
и М — наименьшее и наибольшее значения функции 
в промежутке 
мы видим, что 
заключается между площадями двух круговых секторов того же растворения 
но радиусов 
и М, т. е.
а потому, обозначив через Р некоторое число, лежащее между 
и 
можем написать
Так как непрерывная функция 
в промежутке 
принимает все значения между 
и МУ то в этом промежутке наверное найдется такое значение 0, при котором
а тогда
Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов 
так, что наибольшее из значений 
стремится к нулю, и если вспомним сказанное в [87], то в пределе получим
что и требовалось доказать.
Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы (9) заключается в замене площади сектора 
площадью кругового сектора того же растворения 
и радиуса 
Приняв вместо точного выражения (10) приближенное:
где 
— любое значение из промежутка 
, для площади этого сектора мы получим в пределе тот же результат:
При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (11) получает простой геометрический смысл: 
есть приближенное выражение площади элементарного сектора растворения 
и потому называется просто элементом площади в полярных координатах.
Рис. 133.
Рис. 134.
Пример. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой
Кривая эта, построение которой по точкам 
представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади заштрихованной части, соответствующей изменению 0 от и 
до 
так что по формуле (9) имеем
