116. Интегрируемые функции.

Укажем теперь необходимое и достаточное условие существования интеграла у ограниченной функции или, как говорят, необходимое и достаточное условие интегрируемости Через (8) в дальнейшем будем обозначать наибольшую из длин частичных промежутков, входящих в подразделение .

Теорема. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции на конечном промежутке состоит в том, чтобы разность

стремилась к нулю, если стремится к нулю.

Иначе говоря, это условие, назовем его условием А, состоит в следующем: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число что неотрицательна разность:

Достаточность. Положим, что условие А теоремы выполнено, т. е. при При этом из (7) следует, что что стремятся к 1 при Отсюда следует, в силу (4), что и сумма о ) стремится к при и любом выборе Точнее говоря: ПРИ причем определяется заданием Таким образом, доказано, что интегрируема и число I есть величина интеграла. Достаточность условия А доказана.

Необходимость. Положим, что интегрируема. Докажем, что выполнено условие А. Обозначим величину интеграла от . Из его определения следует: для любого существует такое что

при любом выборе В силу леммы 4, при любом фиксированном 8, возможен такой выбор что

Мы можем написать

откуда, в силу (9) и (10), получаем при

т. е. при а это и есть условие А. Необходимость условия доказана.

Замечание 1. Из доказательства достаточности следует, что при выполнении условия А, и при этом величина интеграла равна 1. Поэтому из необходимости условия А следует, что равенство является необходимым условием интегрируемости.

Замечание 2. Можно показать, что для любой ограниченной функции будет: при Отсюда следует, что если то при и потому равенство не только необходимо, но и достаточно для интегрируемости

I. Если непрерывна на замкнутом промежутке то она равномерно непрерывна на нем. Кроме того, на каждом из промежутков она достигает своего наименьшего значений и наибольшего . В силу равномерной непрерывности при любом заданном существует такое что . При этом

т. е. , если . Таким образом, условие А выполнено, и, следовательно, всякая непрерывная функция интегрируема.

II. Положим теперь, что ограниченная функция имеет конечное число точек разрыва. Для определенности будем считать, что имеет одну точку разрыва лежащую внутри Отметим прежде всего, что разности на любом частичном промежутке не превосходят колебания функции на всем промежутке

Пусть задано положительное число е. Выделим точку с из промежутка малым фиксированным промежутком таким, что

Рис. 154

На замкнутых промежутках функция непрерывна, а тем самым и равномерно непрерывна. Поэтому для каждого из этих двух промежутков существует такое число , что если принадлежат или Числа могут оказаться разными для но если мы возьмем наименьшее из этих двух чисел то оно будет годиться для обоих промежутков. Пусть В — любое такое разбиение что соответствующее ему меньше чисел :

т. е. меньше наименьшего из двух чисел и .

Оценим соответствующую такому В сумму (8), состоящую из неотрицательных слагаемых. Промежутки принадлежащие , разобьем на два класса. К первому отнесем те, которые целиком укладываются в или а ко второму классу остальные частичные промежутки разбиения В. Это будут те промежутки которые или принадлежат или частью налегают на этот промежуток.

Сумма длин промежутков первого класса, очевидно, меньше , а эта сумма для промежутков второго класса меньше Это вытекает из неравенства второго из неравенств (12) и того факта, что число частью налегающих на промежутков разбиения не больше двух. Далее, для промежутков первого класса, в силу непрерывности на первого из неравенств (12) и определения числа , имеем Для промежутков второго класса используем неравенство (11). Таким образом, имеем для суммы по промежуткам первого класса

и для промежутков второго класса

Окончательно

если удовлетворяет неравенствам (12). Квадратная скобка в правой части (13) есть определенное число, и принимая во внимание возможность произвольного выбора малого положительного числа , мы можем утверждать, что выполнено условие А, т. е. всякая ограниченная функция имеющая конечное число точек разрыва непрерывности, интегрируема.

III. Рассмотрим тот случай, монотонная ограниченная на конечном промежутке функция. Для определенности будем считать, что не убывает, т. е. если При этом на каждом промежутке мы имеем Отсюда следует

Но и разности неотрицательны, и, следовательно,

Принимая во внимание, что

получаем

откуда следует, что

Если , то — постоянная.

Таким образом, всякая монотонная ограниченная функция интегрируема.

Заметим, что монотонная функция может иметь и бесчисленное множество точек разрыва, так что случай (III) не исчерпывается случаем (II). В качестве примера можем привести функцию, равную нулю при равную при у равную наконец, равную 1 при . У этой неубывающей функции точками разрыва будут на промежутке (0, 1) значения

Упомянем о том, что монотонная ограниченная функция должна иметь во всякой точке разрыва пределы Это непосредственно следует из существования предела у монотонной и ограниченной последовательности чисел [30].

При выводе условий интегрируемости мы всегда предполагали ограниченной. Можно доказать, что это условие является необходимым условием интегрируемости, т. е. существования определенного предела у суммы (2). Если это условие ограниченности не выполнено, то все же в некоторых случаях можно определить интеграл от по промежутку но уже не как предел суммы (2). В этом случае интеграл называется несобственным. Основы учения о несобственном интеграле выяснены нами в [97]. Более подробно это будет изложено во втором томе.

Если промежуток интегрирования бесконечен в одну или в обе стороны, то понятие об определенном интеграле по такому промежутку также не приводится непосредственно к пределу суммы вида (2). В этом случае мы имеем тоже несобственный интеграл (см. [98] и второй том).