§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ
184. Алгебраическое уравнение.
В настоящем параграфе мы будем заниматься исследованием целого многочлена (полинома):
где 
данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент мы можем считать отличным от нуля.
Основные действия с многочленами хорошо известны из элементарной алгебры. Мы напомним только основной результат, касающийся действия деления. 
два многочлена и степень 
не выше степени 
то 
представить в виде:
где 
также многочлены, причем степень 
ниже степени 
. Многочлены 
называются, соответственно, частным и остатком при делении 
на 
. Частное и остаток суть вполне определенные многочлены, так что представление 
в указанном выше виде через 
единственно.
Значения z, при подстановке которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом, корни 
суть решения уравнения
Написанное уравнение называется алгебраическим уравнением 
степени.
При делении 
на двучлен 
частное 
будет многочленом 
степени со старшим коэффициентом 
остаток же R не будет содержать z. По основному свойству деления имеет место тождество
Подставляя в это тождество 
получим
т. е. остаток, получаемый при делении многочлена 
, равен 
(теорема Безу).
В частности, для того чтобы многочлен 
делился на (
) без остатка, необходимо и достаточно условие
т. е. для того чтобы многочлен делился на двучлен (z — а) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы 
было корнем этого многочлена.
Таким образом, зная корень 
многочлена 
мы можем выделить из этого многочлена множитель (z — а):
где
нахождение остальных корней приводит к решению уравнения
степени.
Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ на следующий вопрос: имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни? В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнение
вовсе корней не имеет, так как модуль 
левой части ни при одном значении 
в нуль не обращается. Но в случае алгебраического уравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительный ответ, который и заключается в следующей основной теореме алгебры: всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.
Мы примем здесь эту теорему без доказательства. В третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной мы дадим ее доказательство.
