166. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Положим, что буется найти наибольшее значение некоторой функции заданной в определенной области. Указанный в [163] прием позволяет нам найти все максимумы функции внутри этой области, т. е. те точки внутри области, в которых значения функции не меньше, чем в соседних с ними точках. Для нахождения наибольшего значения функции надо принять во внимание значения функции на границе (контуре) данной области и сравнить ее максимумы внутри области со значениями на контуре. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значением функции в данной области. Аналогично находится и наименьшее значение функции в данной области. Для разъяснения сказанного рассмотрим пример.

На плоскости дан треугольник ОАВ (рис. 166), образованный осями ОХ и OY и прямой

Требуется найти такую точку этого треугольника, для которой сумма квадратов ее расстояний до вершин треугольника была бы наименьшей.

Принимая во внимание, что вершины А и В имеют координаты (1, 0) и (0, 1), мы можем написать выражение для вышеупомянутой суммы квадратов расстояний переменной точки до треугольника:

Рис. 166.

Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получим и нетрудно показать, что этим значениям соответствует минимум Исследуем теперь значения z на контуре треугольника. Для исследования z на стороне ОА надо в выражении для положить

причем может меняться в промежутке (0, 1),

Поступая согласно [60], убедимся, что z на стороне ОА принимает наименьшее значение в точке С, для которой Точно так же и на стороне ОВ наименьшее значение z будет равно и будет достигаться в точке D, для которой . Для исследования значений z на стороне АВ надо, согласно уравнению (16), в выражении z положить

причем может меняться в. промежутке (0, 1). В данном случае наименьшее значение z будет и будет достигаться в точке Е, для которой Мы получаем, таким образом, следующую таблицу возможных наименьших значений функции:

Из этой таблицы мы видим, что наименьшее значение будет достигаться в точке (). Рассматриваемая задача может быть также решена и для любого треугольника, и искомая точка является центром тяжести треугольника.