180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.

Укажем на применение комплексных величин при изучении гармонических колебаний. Рассмотрим переменный ток, сила которого j в каждый момент времени имеет во всей цепи одно и то же значение, определяемое по формуле

где t — время, и постоянные.

Постоянная которую мы будем считать положительной, называется амплитудой; постоянная называется частотой и связана с периодом Т соотношением

постоянная называется фазой переменного тока.

Ток, сила которого определяется по формуле (32), называется синусоидальным. Сказанное применяется и для напряжения

и в дальнейшем мы будем рассматривать силы тока и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону, определяемому формулами (32) и (33).

Существует простое геометрическое изображение синусоидальных величин одной и той же частоты. Через некоторую точку О плоскости проводим луч, который мы будем вращать с угловой скоростью со по часовой стрелке; этот луч назовем осью времени.

Пусть начальное положение оси времени при совпадает с осью ОА. Построим вектор длины который образует угол с начальным положением оси времени (напомним, что положительным направлением отсчета углов мы считаем направление против часовой стрелки).

В момент t вектор ОА будет образовывать угол с осью времени, повернувшейся на угол проекция вектора О А на направление, перпендикулярное оси времени и получающееся поворотом ее на угол против часовой стрелки, или, короче говоря, взятая с надлежащим знаком длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора ОА на ось времени, и дает нам, очевидно, величину

Рис. 177.

Для изображения другой синусоидальной величины того же периода

надо будет отложить вектор длины образующий с первым вектором угол

Таким образом, при помощи неподвижных векторов на плоскости мы можем изображать синусоидальные величины одной и той же частоты. Длина всякого вектора дает амплитуду соответствующей величины, а угол между двумя векторами представляет собой разность фаз соответствующих этим векторам величин. Построенные указанным образом векторы дают так называемую векторную диаграмму системы синусоидальных величин одного и того же периода.

Геометрическая сумма нескольких векторов векторной диаграммы, согласно теореме о проекции замыкающей, будет соответствовать синусоидальной величине того же периода, равной сумме синусоидальных величин, соответствующих слагаемым векторам.

Пользуясь определением умножения, приведенным в [172], можно придать операциям с векторными диаграммами удобный аналитический вид.

В дальнейшем мы будем обозначать векторы теми же буквами, но жирным шрифтом.

Произведение вектора j на комплексное число будем считать равным вектору, который получается из вектора j, если его длину умножить на и повернуть его на угол , т. е. будем считать, что произведение получается согласно приведенному в [172] правилу умножения комплексного числа, изображающего вектор j, на комплексное число

Если комплексное число написать в виде то произведение можно представить в виде суммы двух векторов

причем первое слагаемое есть вектор, параллельный вектору j, а второе слагаемое есть вектор, перпендикулярный вектору

Разлагая какой - либо вектор на два взаимно перпендикулярных направления, можем представить его в виде

При этом равно, очевидно, отношению длин векторов j и а аргумент числа представляет собой угол, образованный вектором с вектором . Этот угол дает разность фаз величин, соответствующих векторам h и j, Введем понятие о среднем квадратичном значении синусоидальной величины (32), которое мы обозначим символом Оно определяется равенством

Интегрируя выражение

в пределах от 0 до , получим

Корень квадратный из среднего квадратичного значения называется эффекпгивным, или действующим, значением величины:

На практике при построении векторных диаграмм обычно принимают длину вектора равной не амплитуде, а эффективному значению величины, т. е. по сравнению с описанным выше построением длины векторов уменьшают в отношении

Дифференцируя формулу (32), получим

т. е. производная отличается от j лишь тем что амплитуда умножается на и к фазе прибавляется

Выведенное соотношение в векторных обозначениях напишется так;

Интегрируя формулу (32) в отбрасывая произвольную постоянную, что необходимо делать, если мы желаем получить также синусоидальную величину того же периода, имеем

откуда следует