30. Монотонные переменные.

При рассмотрении переменной величины мы часто не в состоянии найти ее предел, но нам важно знать, что этот предел существует, т. е. что переменная стремится к пределу. Укажем один важный признак существования предела.

Положим, что переменная величина постоянно возрастает (точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнее говоря, никогда не возрастает). В первом случае всякое значение величины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих. Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше всех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняется монотонно.

Рис. 43.

Соответствующая ей точка К на оси ОХ будет тогда перемещаться в одном направлении — в положительном, если переменная возрастает, и в отрицательном, если она убывает. Непосредственно ясно, что могут представиться лишь дне возможности: или точка К беспредельно удаляется по прямой ( или ), или точка К беспредельно приближается к некоторой определенной точке А (рис. 43), т. е. переменная стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известно еще, что величина ограничена, то первая возможность отпадает, и можно утверждать, что величина стремится к пределу.

Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеет доказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже.

Указанный признак существования предела обычно формулируют так: если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу.

Рассмотрим в качестве примера последовательность

где есть данное положительное число. Мы имеем

При значении дробь — будет меньше единицы и переменная начиная с некоторого своего значения, при увеличении будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля.

Согласно признаку существования предела, эта переменная будет стремиться к некоторому пределу и. Будем в равенстве (7) беспредельно увеличивать целое число п. В пределе мы получим

то

Если мы в последовательности (6) заменим на то изменится лишь знак у членов с нечетным значком , и эта последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, т. е. равенство (8) справедливо при любом заданном значении ; как положительном, так и отрицательном.

В этом примере мы вычислили предел u, предварительно убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали, то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочному результату. Рассмотрим, например, последовательность

Имеем, очевидно,

Не заботясь о существовании предела обозначим его буквою и. Переходя в написанном равенстве к пределу, получим

и, следовательно,

Но это неверно, ибо при , как известно,