ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ
151. Основные понятия.
В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий, касающихся таких функций. Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимся на понятии предела.
Функцию 
мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке 
из этой области соответствует определенное значение 
Если рассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой.
Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат ОХ, 
в пространстве, то, вместо тройки чисел (х, у, z) мы можем говорить о точке М пространства с координатами (х, у, z). Будем считать, что функция f(x, у, z) определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколько) будут некоторые поверхности. Так, например, неравенства
определяют замкнутый прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям. Неравенства
определяют открытый параллелепипед. Неравенство
определяет замкнутую сферу с центром 
и радиусом 
. Если исключить знак равенства и оставить только знак 
то получится открытая сфера.
Понятие предела и непрерывности для функции трех переменных определяют совершенно так же, как и [67] для двух переменных.
Для функций 
многих переменных при 
уже теряется геометрическая наглядность пространства, однако и в этом случае часто сохраняют геометрическую терминологию. Последовательность 
вещественных чисел 
называют точкой. Множество всех точек образует 
-мерное пространство. Области такого пространства определяются неравенствами. Так, например, неравенства
определяют 
-мерный параллелепипед или, как иногда говорят, 
-мерный промежуток. Неравенство
определяет 
-мерный шар. Окрестностью точки 
называется множество точек, определенных последним неравенством при некотором выборе 
или неравенствами — 
где 
— некоторое положительное число.
Если функция 
определена в окрестности точки 
то говорят, что 
стремится к пределу А при стремлении точки 
к точке 
и пишут
если для любого заданного положительного числа 8 существует такое положительное 
что 
если только 
при 
причем считается, что точка 
не совпадает с 
Если 
определена и в точке 
то непрерывность в этой точке определяется равенством 
Справедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывной в замкнутой области.
Как в случае функции одного переменного [34], справедливы утверждения о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. Последнее в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке 
