72. Асимптоты.
Перейдем теперь к изучению бесконечных ветвей кривой, на которых одна из координат х или у или обе вместе беспредельно возрастают. Гипербола и парабола дают нам примеры кривых с бесконечными ветвями.
Асимптотой кривой с бесконечною ветвью называется такая прямая, что расстояние точек кривой до этой прямой при беспредельном удалении по бесконечной ветви стремится к нулю.
Покажем сначала, как находить асимптоты кривой, параллельные оси OY. Уравнение такой асимптоты должно иметь вид:
где с — постоянная, и в этом случае при движении по соответствующей бесконечной ветви 
должно стремиться к 
, а у — к бесконечности (рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило. Все асимптоты кривой
параллельные оси OY, можно получить, найдя те значения х = с, при приближении к которым 
стремится к бесконечности Для исследования того, как расположена кривая относительно асимптоты, надо определить знак f (х) при стремлении 
к с слева и справа.
Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных оси QY. В этом случае уравнение асимптоты должно иметь вид
где 
— текущие координаты асимптоты, в отличие от 
— текущих координат кривой.
Пусть о» есть угол, образованный асимптотой с положительным направлением оси ОХ, МК — расстояние точки кривой до асимптоты и 
— разность ординат кривой и асимптоты при одинаковой абсциссе х (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь
и, следовательно, условие 
мы можем заменить условием 
В случае асимптоты, непараллельной оси 
, при движении по соответствующей бесконечной ветви 
стремится к бесконечности.
Принимая во внимание, что 
есть разность ординат кривой и асимптоты при одинаковых абсциссах, можем переписать условие (7) так:
откуда мы и должны получить значения а и b. Условие (8) можно переписать в виде:
Рис. 81.
Но первый множитель 
стремится к бесконечности, а потому выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремиться к нулю
то
Найдя а, мы определим b из основного условия (8), которое можно переписать в виде:
Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси ОY, у кривой 
необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечной ветви 
беспредельно возрастало и чтобы существовали пределы
и тогда уравнение асимптоты будет
Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо отдельно разобрать случаи стремления лг к 
и в каждом из этих случаев определить знак разности
Если он будет 
, то кривая расположена над асимптотой, а если (—), то под асимптотой. Если же эта разность при беспредельном возрастании х не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около асимптоты (рис. 82).
Рис. 82.
