При стремлении 
к нулю точка N будет, оставаясь на кривой, стремиться к точке М; предельным положением секущей MN будет касательная МТ к кривой в точке 
, и, следовательно, производная f(x) равна тангенсу угла а, образованного касательной к кривой в точке 
с полооюительным направлением оси ОХ, т. е. равна угловому коэффициенту этой касательной.
Рис. 50.
При вычислении отрезков по формулам (2) надо принимать во внимание правило знаков и помнить, что приращения 
могут быть как положительными, так и отрицательными.
Точка 
, лежащая на кривой, может стремиться к 
с любой стороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление, то это привело бы к изменению угла а на величину 
и не повлияло на величину тангенса этого угла. В дальнейшем мы вернемся еще к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это несущественно.
Мы видим таким образом, что существование производной связано с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению 
причем угловой коэффициент касательной 
должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть параллельна оси ОК. В этом последнем случае 
или 
и тангенс такого угла равен бесконечности.
Рис. 51.
Непрерывная кривая может в отдельных точках вовсе не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси OY (рис. 51), и при соответствующих значениях 
функция 
не имеет производной. Таких исключительных точек может быть сколь угодно много на кривой. Доказывается также, что существуют такие непрерывные функции, которые не имеют производной ни при одном значении 
. Кривая, соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям.
Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которые представлены на рис. 51.
Предварительно введем понятия о производной справа и производной слева. Положим, что h стремится к нулю не произвольным образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны положительных значений, т. е. 
или 
.
Если при этом отношение (1) имеет предел (конечный), то он обозначается обычно символом 
или, соответственно, 
и называется производной слева или, соответственно, производной справа. Существование производной 
равносильно тому, что существуют производные 
и что они равны. При этом 
.
Если существуют различные производные 
, то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке 
существуют слева и справа касательные, не параллельные оси ОК (предельные положения секущей), но эти касательные различны, т. е. они не лежат на одной прямой, проходящей через точку с абсциссой 
. Этот случай представлен точкой 
на рис. 51. В точках и 
отношение (1) при 
стремится к бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконечности.
Для точек N, лежащих на кривой слева от 
величина 
достаточно близких к нулю, так как ордината слева меньше ординаты в точке 
Таким образом, в этом случае отношение (1) положительно, и при 
оно стремится к 
(касательная слева параллельна оси 
). Справа от М величина 
и по-прежнему 
т. е. отношение (1) отрицательно и оно стремится к 
при 
Переходим к точке 
Здесь слева 
а справа 
т. е. слева и справа отношение (1) положительно и оно стремится к 
как при 
так и при 
т. е. в этом случае отношение (1) стремится к (
) при 
Рис. 52,
Отметим, что при определении производной мы требовали, чтобы отношение (1) стремилось к конечному пределу при 
Если этот предел при 
равен 
или 
то мы все же не говорим, что при соответствующем значении 
существует производная, равная 
или 
Возможны, конечно, и такие точки на кривой 
в коте» 
нет и производных 
Такая кривая изображена на рис. 52. Она не имеет указанных производных при 
Если непрерывная функция задана только на промежутке 
то при 
мы имеем возможность образовать только правую производную 
а при 
только левую производную 
Когда говорят, что 
имеет в промежутке (а, b) (замкнутом) производную 
то во внутренних точках промежутка эту производную надо понимать в обычном смысле, а на концах промежутка в только что указанном смысле.
Возьмем на нем точку М с координатами 
и близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами 
Проведем ординаты этих точек и из точки М проведем прямую, параллельную оси ОХ. Мы будем иметь (рис. 50):
образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ.
определена в промежутке 
, более широком, чем 
и имеет внутри 
обычную производную 
то тем более она будет производной в указанном смысле и на промежутке 
