Главная > Курс высшей математики, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

142. Двойные ряды.

Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел, ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечность направо и вниз:

Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторым значком при букве и. Таким образом, означает число, стоящее в пересечении строки с столбцом таблицы.

Допустим сперва, что все числа положительны.

Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (22), наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами и проведем ряд кривых

пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка М при достаточно большом попала внутрь площади ограниченной кривой и координатными осями и чтобы площадь заключалась внутри

Рис. 157.

Составим сумму всех чисел соответствующих точкам, попавшим внутрь площади При возрастании эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могут представиться лишь два случая: или 1) сумма остается ограниченной при всех значениях , и тогда существует конечный предел

или 2) сумма при возрастании беспредельно возрастает.

В случае 1) говорят, что двойной ряд

сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называется расходящимся.

Сумма сходящегося ряда (23) с положительными членами не зависит от способа суммирования, т. е. от выбора кривых может быть получена также путем суммирования ряда по строкам или столбцам

т. e. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждого столбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм.

В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых обладающих тем же свойством, что Обозначим через сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади При заданном можно всегда выбрать настолько большое чтобы площадь оказалась внутри и тогда

т. е. в силу предыдущего существует конечный предел

Рис. 158.

Переменив роли кривых мы точно так же докажем, что

что возможно лишь при условии

Сумму двойного ряда (23) можно получить, хотя бы взяв за ломаные, составленные из отрезков прямых (рис. 158):

Мы получим таким путем суммирование квадратам!

Суммируя же „по диагоналям", получим

Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что сумма какого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегда меньше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов

Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел тип:

В самом деле, будем рассматривать только первые строк таблицы (22). Взяв из них элементы первых столбцов, мы имеем, очевидно

По правилу сложения рядов [119] имеем

так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше

Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (26). Неравенства (26) показывают, что оба ряда

сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е.

С другой стороны, ясно, что при любом выборе системы кривых все члены, входящие в состав суммы войдут в состав обеих сумм

при достаточно большом m, т. е.

а потому и в пределе

Ввиду и , это возможно лишь при условии

что и требовалось доказать.

Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся только на абсолютно сходящихся рядах, т. е. таких, для которых двойной ряд, составленный из абсолютных значений

сходится.

Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует сумма

которая также не зависит от способа суммирования и, в частности, может быть получена суммированием по строкам и по столбцам.

Замечание. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды; в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся.

Точно так же распространяется свойство 2) из [120].

Примеры. 1, Ряд

сходится при ибо, суммируя по квадратам, мы имеем

где А и В обозначают сумму рядов

сходящихся при

сходится при и расходится при о так как, суммируя по диагоналям, мы имеем

откуда, подставляя вместо сначала , т. е. меньшее число, а затем 1, т. е. большее число, находим

Сходимость ряда и расходимость его при доказывают наше утверждение.

3. Если а и с положительны и , то ряд

сходится при и расходится при .

Пусть сперва . Так как, очевидно

то, обозначив через меньшее из чисел а и с, через большее из чисел а, b, с, имеем

откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем выводим

что в силу примеров 1 и 2 и сделанного выше замечания дает сходимость при и расходимость при 1, причем существенно отметить, что множители — и от не зависят.

Пусть теперь Обозначив через , большее из чисел а, с, в силу очевидного неравенства

причем так как по условию Дальше доказательство проводится так же, как и в случае .

1
Оглавление
email@scask.ru