142. Двойные ряды.

Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел, ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечность направо и вниз:

Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторым значком при букве и. Таким образом, означает число, стоящее в пересечении строки с столбцом таблицы.

Допустим сперва, что все числа положительны.

Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (22), наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами и проведем ряд кривых

пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка М при достаточно большом попала внутрь площади ограниченной кривой и координатными осями и чтобы площадь заключалась внутри

Рис. 157.

Составим сумму всех чисел соответствующих точкам, попавшим внутрь площади При возрастании эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могут представиться лишь два случая: или 1) сумма остается ограниченной при всех значениях , и тогда существует конечный предел

или 2) сумма при возрастании беспредельно возрастает.

В случае 1) говорят, что двойной ряд

сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называется расходящимся.

Сумма сходящегося ряда (23) с положительными членами не зависит от способа суммирования, т. е. от выбора кривых может быть получена также путем суммирования ряда по строкам или столбцам

т. e. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждого столбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм.

В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых обладающих тем же свойством, что Обозначим через сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади При заданном можно всегда выбрать настолько большое чтобы площадь оказалась внутри и тогда

т. е. в силу предыдущего существует конечный предел

Рис. 158.

Переменив роли кривых мы точно так же докажем, что

что возможно лишь при условии

Сумму двойного ряда (23) можно получить, хотя бы взяв за ломаные, составленные из отрезков прямых (рис. 158):

Мы получим таким путем суммирование квадратам!

Суммируя же „по диагоналям", получим

Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что сумма какого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегда меньше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов

Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел тип:

В самом деле, будем рассматривать только первые строк таблицы (22). Взяв из них элементы первых столбцов, мы имеем, очевидно

По правилу сложения рядов [119] имеем

так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше

Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (26). Неравенства (26) показывают, что оба ряда

сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е.

С другой стороны, ясно, что при любом выборе системы кривых все члены, входящие в состав суммы войдут в состав обеих сумм

при достаточно большом m, т. е.

а потому и в пределе

Ввиду и , это возможно лишь при условии

что и требовалось доказать.

Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся только на абсолютно сходящихся рядах, т. е. таких, для которых двойной ряд, составленный из абсолютных значений

сходится.

Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует сумма

которая также не зависит от способа суммирования и, в частности, может быть получена суммированием по строкам и по столбцам.

Замечание. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды; в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся.

Точно так же распространяется свойство 2) из [120].

Примеры. 1, Ряд

сходится при ибо, суммируя по квадратам, мы имеем

где А и В обозначают сумму рядов

сходящихся при

сходится при и расходится при о так как, суммируя по диагоналям, мы имеем

откуда, подставляя вместо сначала , т. е. меньшее число, а затем 1, т. е. большее число, находим

Сходимость ряда и расходимость его при доказывают наше утверждение.

3. Если а и с положительны и , то ряд

сходится при и расходится при .

Пусть сперва . Так как, очевидно

то, обозначив через меньшее из чисел а и с, через большее из чисел а, b, с, имеем

откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем выводим

что в силу примеров 1 и 2 и сделанного выше замечания дает сходимость при и расходимость при 1, причем существенно отметить, что множители — и от не зависят.

Пусть теперь Обозначив через , большее из чисел а, с, в силу очевидного неравенства

причем так как по условию Дальше доказательство проводится так же, как и в случае .