44. Непрерывность элементарных функций.

Мы показали раньше непрерывность многочлена и рациональной функции [34]. Рассмотрим теперь показательную функцию

причем для определенности будем считать Эта функция вполне определена при всех рациональных положительных значениях Для отрицательных она определяется формулой:

и, кроме того, Таким образом, она определена при всех рациональных Из алгебры известны также правила сложения и вычитания показателей при умножении и делении.

Если есть положительное рациональное число то

где радикал считается арифметическим. Очевидно, что и из определения корня вытекает, что при х > 0 (применить определения из [41]). Из (37) вытекает, что при Покажем теперь, что если т. е. что возрастающая функция. Действительно,

причем и, следовательно, оба сомножителя справа положительны. Покажем еще, что если принимая рациональные значения. Положим сначала, что через все рациональные значения, убывая (справа). При этом убывает, но остается больше единицы, и, следовательно, имеет предел, который мы обозначим через l. При упомянутом выше изменении переменная также стремится справа к нулю по всем рациональным значениям. Мы имеем, очевидно,

и, переходя к пределу, получим

т. е. или

Но вторая возможность отпадает ввиду Итак, если справа. Из (37) вытекает, что тот же предел будет и тогда, когда слева. Итак, вообще: если принимая рациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределу b, то действительно,

Разность стремится к нулю и по доказанному, также стремится к нулю.

Определим теперь функцию (36) при иррациональных Пусть а — некоторое иррациональное число, а I (а) и II (а) — первый и второй классы сечения в области рациональных чисел, определяющих а. Положим, что возрастая и проходя через все рациональные числа из I (а). Переменная возрастает, но остается ограниченной, а именно она меньше, чем где любое число из II (а). Таким образом, при упомянутом изменении переменная имеет предел, который мы пока обозначим через L. Точно так же, если убывая и пробегая рациональные числа из II (а), то также имеет предел. Покажем, что этот предел также равен L. Пусть из из II (а). Мы имеем

т. е.

Для близких к а, разность сколько угодно близка к нулю и, в силу написанного неравенства, то же можно сказать и о разности откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы принимаем по определению равным упомянутому пределу есть предел, к которому стремится когда через рациональные значения. Теперь функция (36) определена при всех вещественных На основании сказанного выше легко доказать, что это будет возрастающая функция, т. е. если любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству При доказательстве надо рассмотреть отдельно случаи, когда оба иррациональны или одно из рационально. Остается еще доказать, что эта функция будет непрерывна при всяком вещественном Сначала надо показать, что при причем считаются допустимыми все вещественные значения Это можно показать совершенно так же, как выше это было сделано для рациональных Далее, как и Еыше, пользуясь формулой

мы можем показать, что а при х — что и дает непрерывность при любом вещественном

Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например, — два иррациональных числа и пусть , причем переменные х и у, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рациональных показателей мы имеем

Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показательной функции, получим то же свойство для иррациональных показателей:

Докажем еще правило перемножения показателей при возвышении степени в степень:

Если есть целое положительное, то написанная формула непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении. Если есть рациональное положительное число, то

Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредственно вытекает из формулы (37). Положим теперь, что иррационально, и пусть рациональные числа стремятся к . Мы имеем, по доказанному выше,

Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательной функции, причем слева принимаем за основание, мы и получим

Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротко во введении возрастающая непрерывная функция в промежутке причем то, в силу второго свойства непрерывных функций, при возрастании от а до b через все вещественные значения будет возрастать от А до В, проходя через все промежуточные значения. Таким образом, всякому значению у из промежутка будет соответствовать определенное из и обратная функция будет однозначной и возрастающей. Если находится внутри пробегает малый промежуток то у будет пробегать некоторый промежуток Обозначал через 5 наименьшее из двух положительных чисел мы можем утверждать, что если у принадлежит промежутку составляющему лишь часть промежутка то соответствующие значения тем более принадлежат прежнему промежутку , т. е. если только Ввиду произвольности S это дает нам непрерывность функции в точке Если совпадает, например, с концом а, - то в предыдущих рассуждениях вместо надо взять промежуток . Аналогично можно разобрать случай убывающей непрерывной функции

Вернемся к функции (36). Раз , то , где и формула бинома Ньютона дает при целом положительном

откуда видно, что беспредельно возрастает при беспредельном возрастании . Далее, из (37) следует, что при . Принимая во внимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать, что функция

обратная (36), будет однозначной, возрастающей непрерывной функцией при . Такие же результаты получаются и для случая , но только функции (36) и (38) будут убывающими.

Введем теперь новое понятие о сложной функции. Пусть есть Функция, непрерывная в промежутке причем ее значения принадлежат промежутку

Пусть, далее, есть функция, непрерывная в промежутке Понимая под у указанную выше функцию от мы получим сложную функцию от

Говорят, что эта функция зависит от через посредство у. Она определена в промежутке Нетрудно видеть, что она будет и непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению соответствует бесконечно малое приращение у в силу непрерывности а бесконечно малому приращению у соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F(у).

Рассмотрим теперь степенную функцию

с любым вещественным показателем b, причем переменную х мы считаем положительной. Из рассуждений с показательной функцией непосредственно следует, что функция (39) имеет определенное значение при всяком х > 0. Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные логарифмы, мы можем написать вместо (39):

Полагая мы можем рассматривать эту функцию как сложную функцию от и непрерывность показательной и логарифмической функций докажет нам непрерывность функции (39) при всяком х > 0.

Мы доказали выше [34] непрерывность функции при всех значениях . Так же доказывается непрерывность функции при всех . Из формул

непосредственно следует [34] непрерывность при всех х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.

Функция есть непрерывная возрастающая функция в промежутке . Пользуясь сказанным выше об обратных функциях, можем утверждать, что главное значение функции будет непрерывной возрастающей функцией в промежутке . Аналогично доказывается непрерывность и остальных обратных круговых функций.