§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

196. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Выше мы указали ряд приемов для вычисления неопределенных интегралов. В настоящем параграфе мы дополним эти указания и придадим им более систематический характер. Первым вопросом будет вопрос об интегрировании рациональной дроби, т. е. частного двух многочленов. Прежде чем переходить к решению этого вопроса, мы установим формулу, которая дает представление рациональной дроби в виде суммы некоторых дробей простейшего вида. Это представление называется разложением рациональной дроби на простейшие Пусть имеется рациональная дробь

Если это — дробь неправильная, т. е. степень числителя не ниже степени знаменателя, то, производя деление, можем выделить целую часть — многочлен и представить дробь в виде

где есть уже правильная дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя. Кроме того, мы будем считать эту дробь несократимой, т. е. будем считать, что числитель и знаменатель взаихмно простые [188].

Пусть есть корень знаменателя кратности

Докажем, что дробь можно представить в виде следующей суммы:

где А — некоторая постоянная и второе слагаемое правой части — правильная дробь. Составим разность

и определим постоянную А так, чтобы числитель дроби, стоящей в правой части написанного равенства, делился на :

откуда

При таком выборе А только что упомянутую дробь можно сократить на и мы придем таким образом к тождеству (2).

Оно показывает, что, выделяя слагаемое вида которое и называется простейшей дробью, мы можем понизить показатель степени множителя входящего в знаменатель, по крайней мере, на единицу.

Положим, что знаменатель разлагается на множители:

Постоянный множитель мы не пишем, так как он может быть отнесен к числителю. Применяя последовательно указанное выше правило выделения простейшей дроби, получим разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

Укажем теперь способы определения коэффициентов, входящих в правую часть написанного тождества. Освобождая его от знаменателя, придем к тождественному равенству двух многочленов и, приравнивая их соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений первой степени для определения искомых коэффициентов. Изложенный способ, как мы уже упоминали выше [186], называется способом неопределенных коэффициентов.

Можно поступать и иначе, а именно, придавать в упомянутом выше тождественном равенстве многочленов различные частные значения переменной Этим способом подстановки можно еще пользоваться и предварительно продифференцировав любое число раз упомянутое тождество.

Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что разложение (3) единственно, т. е. что его коэффициенты имеют вполне определенное значение, не зависящее от способа разложения.

В дальнейшем мы дадим примеры применения указанных выше способов определения неизвестных коэффициентов разложения.

В случае вещественности многочленов правая часть тождества (3) может все-таки содержать мнимые члены, происходящие от мнимых корней знаменателя. Мы приведем другое разложение рациональной дроби, свободное от этого недостатка, но ограничимся при этом лишь тем случаем, когда знаменатель дроби имеет только простые корни, так как в приложениях имеет наибольшее значение именно этот случай.

Паре комплексных сопряженных корней знаменателя будет соответствовать сумма простейших дробей

Приводя эти дроби к одному знаменателю, получим простейшую дробь вида

Таким образом, в рассматриваемом случае вещественная рациональная дробь разложится на вещественные простейшие:

причем в первой строке стоят дроби, соответствующие вещественным корням знаменателя, во второй — дроби, соответствующие парам комплексных сопряженных корней.