32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью.

Пусть имеется функция определяемая на некотором множестве значений например в некотором промежутке. Используя значения из указанного множества, мы можем строить различные упорядоченные множества значений переменной и при этом будем получать соответствующие упорядоченные множества значений переменной y = f(x) [25]. Упорядоченная переменная является упорядочивающей для . Мы рассмотрим в этом параграфе один важный случай такого процесса.

Пусть функция определена на некотором промежутке, содержащем точку внутри. Выбирая достаточно малое положительное можем считать, что тем самым определена на промежутке Рассмотрим три случая упорядочивания значений и соответствующую этим случаям упорядоченную переменную . Пусть в первом случае эта переменная имеет предел. (Обозначим его буквою . В этом случае пишут:

Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела (обозначим его буквою ), пишут:

Часто пределы (13) и (14) обозначают символами так что

Отметим, что это — пределы при стремлении к с слева и справа. В третьем случае стремится к с с двух сторон и существование предела

равносильно, очевидно, следующему: существуют пределы (13) и (14), и они равны . При этом

Не следует смешивать символы т. е. со значением при . Выше мы совершенно не пользовались этим значением, и при предыдущих рассуждениях может быть v не определена при . Если функция определена при , т. е.

то говорят, что функция непрерывна при (в точке с).

Польстясь определением предела для легко указать условия, равносильные существованиям пределов (13), (14) и (15). Существование предела (13) равносильно, очевидно, тому, что f(x) становится сколь угодно близким к когда х достаточно приближается к числу с, оставаясь меньше с. Точнее говоря, (13) равносильно следующему: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число что

При этом зависит от выбора s. Совершенно аналогично, (14) равносильно следующему: при любом заданном положительном числе s существует такое положительное число , что

и (15) равносильно следующему: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число что

Отметим еще следующий очевидный факт: если существует предел (15), то при любом законе стремления упорядоченной переменной х к с имеет предел В. Аналогичное замечание имеет место и для пределов (13) и (14) при стремлении к с слева и справа.

В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к техм случаям, когда или стремятся к бесконечности [29]. Предыдущие определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно, например, видеть, что

Положим, что определена при всех достаточно больших и что упорядоченная переменная любым образом стремится к со [29]. При этом есть также упорядоченная переменная, и может существовать для нее конечный предел

Это Равносильно следующему: при любом заданном положительном числе существует такое число М, что

В частности, упорядоченность можег состоять в том, что беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотреть случай

Если определена при всех достаточно больших по абсолютной величине, и упорядоченное переменное стремится к со [29], то может аналогично предыдущему существовать конечный предел

что равносильно следующему: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число что

В частности, может стремиться к принимая все различйые значения, достаточно большие по абсолютной величине. Их можно упорядочить так же, как это мы делали в [25] для ненумерованной переменной удовлетворяющей условию (кроме х = а). Отметим, что для пронумерованной переменной имеющей предел а, вместо а часто пишут

В этом случае обозначает, что возрастает, принимая все целые положительные значения.

Можно говорить и о бесконечных пределах . В частности,

обозначает, что при любом заданном отрицательном числе существует такое число что если Аналогично можно определить и другие случаи бесконечного предела.

Нетрудно проверить справедливость следующих равенств:

Рассмотрим еще один физический пример. Положим, что мы нагреваем некоторое твердое тело, и пусть его начальная температура.

При нагревании температура тела будет повышаться, пока не достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура будет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и при превращении жидкости в газообразное состояние. Будем рассматривать количество сообщенного телу тепла Q как функцию температуры. На рис. 45 изображен график этой функции, причем на горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной - количество поглощенного тепла.

Рис. 45.

Рис. 46.

Пусть температура, при которой тело начинает переходить в жидкое состояние, и температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное состояние. Очевидно:

Величина отрезка ВС дает скрытую теплоту плавления, а величина отрезка - скрытую теплоту парообразования.

Если пределы существуют и различны, то разность называется разрывом, или скачком, функции при х - с (в точке х - с).

Функция имеет при скачок Только что рассмотренная функция имеет в точке плавления скачок, равный скрытой теплоте плавления.

При определении предела при стремлении к с мы считали, что стремится к с, никогда с ним не совпадая. Эта оговорка существенна, потому что значение при иногда или не существует, или не имеет ничего общего со значениями при близких к с. Так, например, функция не определена при

Рассмотрим еще пример для пояснения сказанного. Положим, что на промежутке функция определена следующим образом;

На рис. 46 воспроизведен график этой функции, состоящий из двух отрезков прямых, из которых исключены конечные точки (при х = 0), и одной отдельной точки — начала координат. В этом случае