188. Общий наибольший делитель.

Рассмотрим два многочлена Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем этих двух многочленов называется произведение всех двучленных множителей вида входящих как в разложение так и в разложение причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят, что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких многочленов.

Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленов на множители первой степени. Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения что и составляет одну из основных задач алгебры.

Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень не ниже степени . Первый многочлен делим на второй, затем второй многочлен делим на остаток, получаемый при первом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемый при втором делении, и т. д., пока не получится деление с остатком, равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Если этот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимно простыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив на мы получим взаимно простые многочлены. Один из них или оба могут не содержать

Сравнивая разложения (9) и (10), мы видим, что общий наибольший делитель многочлена и его производной будет

причем мы опускаем постоянный множитель, что является несущественным.

Разделив на получим

т. е. делении многочлена на общий наибольший делитель получается многочлен, имеющий все корни простые и совпадающие с различными корнями

Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена от кратных корней. Мы видим, что для этого нет необходимости решать уравнение

Если взаимно простые, то f(z) имеет все корни простые и наоборот.