113. Площади быстро колеблющихся кривых.

Выше [110] было указано, что для успешного применения различных приближенных формул, для вычисления определенных интегралов надлежит разбивать кривую, площадь которой определяется на участки, в каждом из которых она имеет плавную форму. Это требование весьма затруднительно для кривых, ведущих себя неправильно, имеющих много колебаний вверх и вниз. Для определения площадей таких кривых по предыдущим правилам приходится вводить слишком много подразделений, что значительно усложняет вычисления.

В таких случаях полезно применять другой способ, а именно разбивать площадь на полоски, параллельные не оси О У, а оси ОХ: для приближенного определения площади кривой, изображенной на рис. 151, откладываем на оси ОY наименьшую и наибольшую ординаты кривой и разделяем промежуток на частей в точках

Рис. 151.

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси мы разобьем всю площадь на полоски, состоящие из отдельных частей; за приближенное выражение площади полоски мы можем принять произведение ее основания на сумму длин отрезков любой прямой

заключенных внутри рассматриваемой площади; сумма эта непосредственно может быть определена на чертеже. Обозначив эту сумму через мы получаем для искомой площади S приближенное выражение вида

которое будет тем точнее, чем больше число делений и чем круче колебания кривой.

Надлежащее развитие основной идеи этого способа привело к понятию об интеграле Лебега, значительно более общему, чем изложенное выше понятие об интеграле Римана [94, 116].