106. Поверхность тела вращения.
Площадью поверхности, получаемой при вращении кривой в плоскости ХО У вокруг оси ОХ, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится к нулю (рис. 141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками А и В, то поверхность F тела вращения выражается формулой (В)
где 
дифференциал дуги данной кривой, т. е.
Рис. 141
В этой формуле кривая может быть задана как угодно, в явной или в параметрической форме; символы (А) и (В) показывают, что нужно интегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой А и В.
Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрической форме, причем роль параметра играет длина дуги S кривой, отсчитываемая от точки А, и обозначим через 
длину всей кривой АВ. Эта кривая, конечно, считается спрямляемой. Мы имеем: 
Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s на частичные промежутки
Пусть значению 
соответствует точка кривой, причем, очевидно, 
совпадает с А и 
. Обозначим через 
длину отрезка 
через 
длину дуги и положим 
Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой от вращения ломаной 
ИЛИ
Пусть b — наибольшее из абсолютных значений 
. В силу равномерной непрерывности функции 
в промежутке 0 величина b стремится к нулю, если наибольшая из разностей 
стремится к нулю. Но мы имеем
откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится к нулю. Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде
Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю. Для этого заметим, что непрерывная в промежутке 
функция 
ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число 
, что при всех и Поэтому
Но если наибольшая из разностей 
— стремится к нулю, то и наибольшая из длин хорд 
стремится к нулю, и периметр вписанной ломаной стремится к длине дуги
откуда
Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемое
Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Таким образом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]
и в случае явного уравнения 
линии АВ:
Пример. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого. Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения. Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеем
Из уравнения эллипса мы имеем:
откуда
Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипса
имеем (см. пример [99])
Интегрируя по частям, имеем 
пример 11 [92])
откуда
и окончательно
Эта формула годится в пределе и для 
, т. е. когда 
, и эллипсоид превращается в шар радиуса а. В скобках при этом оказывается неопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеем
Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы х и у, а и b, мы находим:
где х считается функцией от у. Но из уравнения эллипса имеем
откуда
и окончательно
