175. Извлечение корня.

Корнем степени из комплексного числа называется такое комплексное число, степень которого равна подкоренному числу.

Таким образом, равенство

равносильно равенству

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны и аргументы могут отличаться лишь кратным т. е.

откуда

где есть арифметическое значение корня и k — любое целое число. Таким образом, мы получаем

т. е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.

В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только и они соответствовать значениям

Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях тогда, когда аргументы отличаются не кратным и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным

Но разность двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше , а потому разность

не может быть кратна т. е. значениям k из ряда (17) соответствуют различных значений корня.

Пусть теперь целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде

где q — целое число и одно из чисел ряда (17), а потому

т. е. значению соответствует то же значение корня, что и значению заключающемуся в ряде (17). Итак, корень степени из комплексного числа имеет различных значений.

Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т. е. этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

Примеры. 1. Определим все значения . Модуль i равен единице и аргумент а потому

Мы получаем следующие три значения для

2. Рассмотрим все значения т. е. все решения двучленного урав нения

Модуль единицы равен единице и аргумент — нулю, а потому

Обозначим буквой то значение этого корня, которое получается при

Согласно формуле Моавра:

т. e. все корни уравнения — l имеют вид

причем надо считать

Рассмотрим теперь двучленное уравнение вида

Вместо введем новое неизвестное полагая

где есть одно из значений корня степени из а. Подставляя выражение для z в данное уравнение, получим для и уравнение

Отсюда видно, что все корни уравнения могут быть представлены в виде

где - одно из значений этого корня и в принимает все значения корня степени из единицы.