199. Интегралы вида...

Интегралы вида

где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера. В случае можно пользоваться первой подстановкой Эйлера:

Возвышая обе части этого равенства в квадрат и решая относительно получим

откуда видно, что будут рациональными функциями от t и, следовательно, интеграл (8) приведется к интегралу от рациональной дроби.

В случае можно пользоваться второй подстановкой Эйлера:

Предлагаем читателю убедиться в этом.

В случае трехчлен должен иметь вещественные корни ибо в противном случае он имел бы при всех вещественных значениях знак с был бы величиной мнимой. В случае вещественности корней упомянутого трехчлена интеграл (8) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи третьей подстановки Эйлера:

в чем и предлагаем убедиться читателю.

Подстановки Эйлера приводят большей частью к сложным выкладкам, а потому мы укажем другой прием вычисления интеграла (8). Обозначим для краткости письма:

Всякая положительная четная степень у представляет собою многочлен от а потому подынтегральную функцию нетрудно привести к виду

где многочлен от Освобождаясь от иррациональности в знаменателе и совершая элементарные преобразования, можно преобразовать написанное выражение к виду

Первое слагаемое есть рациональная дробь, интегрировать которую мы уже умеем. Выделяя из дроби целую часть и разлагая оставшуюся правильную дробь на простейшие, мы придем к интегралам вида

и

где многочлен от

При этом мы предполагаем, что многочлен имеет лишь вещественные корни.

Прежде чем переходить к рассмотрению интегралов (9) и (10), отметим два простейших частных случая интеграла (9):

Формулу (11) нетрудно получить при помощи первой подстановки Эйлера. Интеграл (12) уже был нами разобран раньше [92].

Для вычисления интеграла (9) удобно пользоваться формулой:

где многочлен степени на единицу ниже, чем — постоянная. На доказательстве формулы (13) мы останавливаться не будем. Дифференцируя соотношение (13) и освобождаясь от знаменателя, получим тождественное равенство двух многочленов, откуда и можно определить коэффициенты многочленов и постоянную . Интеграл (10) приводится к интегралу (9) при помощи подстановки

Пример.

Но

а потому

Согласно формуле (13)

Дифференцируя это соотношение и освобождаясь от знаменателя, получим тождество

откуда

и, следовательно, в силу формулы (11),

Подставляя

получим

окончательно

Интеграл (8) является частным случаем абелева интеграла, который имеет вид:

где R — рациональная функция своих аргументов и у — алгебраическая функция от т. е. функция от которая определяется из уравнения

левая часть которого есть целый многочлен относительно Если

где многочлен третьей или четвертой степени от , то абелев интеграл (14) называется эллиптическим интегралом. Мы займемся этими интегралами в третьем томе. Даже и этот последний, а тем более и общий абелев интеграл, вообще говоря, не выражается через элементарные функции.. Если степень многочлена выше четвертой, то интеграл (14) называется гиперэллиптическим.

Если соотношение (15), которое выражает у как алгебраическую функцию от обладает тем свойством, что х и у могут быть выражены в виде рациональных функций вспомогательного параметра t, то, очевидно, абелев интеграл (14) приводится к интегралу от рациональной дроби. В указанном случае алгебраическая кривая, соответствующая соотношению (15), называется уникурсальной. В частности, подстановки Эйлера служат доказательством уникурсальности кривой