159. Существование неявных функций.

Наши рассуждения носили формальный характер. Мы предполагали во всех случаях, что соответствующее уравнение или система уравнений определяют неявным образом некоторую функцию, имеющую производную. Сейчас докажем основную теорему существования неявных функций.

Рассмотрим уравнение

и укажем те условия, при которых оно определяет единственным образом у как функцию от непрерывную и имеющую производную.

Теорема. Пусть решение уравнения (21), т. е.

пусть и ее частные производные первого порядка по х и у — непрерывные функции при всех х и у, достаточно близких к и пусть, наконец, частная производная отлична от нуля при При этом существует при всех достаточно близких к одна определенная функция удовлетворяющая уравнению (21), непрерывная, имеющая производную и удовлетворяющая условию:

Положим для определенности, что при . Так как по условию эта производная непрерывна, то она будет положительной и при всех значениях достаточно близких к т. е. существует такое положительное число что и ее частные производные непрерывны и

при всех х и у, удовлетворяющих условию

Далее, функция одной переменной у обращается в нуль при в силу (22), и есть возрастающая функция от у в промежутке в СИЛУ (23) и (24). Таким образом, числа будут разных знаков: первое — отрицательное, а второе — положительное. Принимая во внимание непрерывность функции мы можем утверждать [67], что будет отрицательным, а положительным при всех достаточно близких к т. е. существует такое положительное число что

при Обозначим через наименьшее из двух чисел: l и

Принимая во внимание (24) и (25), мы можем утверждать, что выполнены неравенства (23) и (25), если и у удовлетворяют неравенствам

Если возьмем какое-нибудь определенное лежащее в промежутке , т. е. удовлетворяющее первому из неравенств (26), то как функция от у, будет в силу (23) возрастающей функцией в промежутке и, в силу (25), будет разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определенном значении у из этого промежутка. В частности, если то, в силу (22), это значение у будет Мы доказали, таким образом, существование в промежутке определенной функции являющейся решением уравнения (21) и удовлетворяющей условию Иначе говоря, из предыдущих рассуждений следует, что, при всяком фиксированном из промежутка уравнение (21) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка

Покажем теперь, что найденная функция будет непрерывной при Действительно, при любом заданном малом положительном числа будут, в силу (25), разных знаков, а следовательно, будет существовать такое положительное что — разных знаков, если только т. е., иначе говоря, при корень уравнения (21), т. е. значение найденной функции удовлетворяет условию что и доказывает непрерывность при

Покажем теперь существование производной при Пусть и пусть есть соответствующее приращение у. Следовательно, АУ удовлетворяют уравнению (21), т. е. и в силу (22) можем написать

Принимая во внимание непрерывность частных производных, можем переписать это равенство так

где и если и где мы обозначили через и значения частных производных при Из доказанной выше непрерывности следует, что если

Уравнение (27) дает нам

переходя к пределу при получим

Мы доказали непрерывность и существование производной функции только при Если мы возьмем какое-либо другое значение из промежутка и соответствующее значение у из промежутка являющееся корнем уравнения (21), то для этой пары значений х, у опять выполнены все условия нашей теоремы, и в силу доказанного у(х) будет непрерывной и будет иметь производную при взятом значении из упомянутого промежутка.

Совершенно так же, как и выше, формулируется и доказывается теорема о существовании неявной функции определяемой уравнением

Рассмотрим теперь систему

определяющую у и как функции от

Для этого случая имеет место

Теорема. Пусть решение системы (28), пусть и их частные производные первого порядка — непрерывные функции при всех значениях этих переменных, достаточно близких к и пусть выражение

отлично от нуля при при этом существует при всех значениях достаточно близких к одна определенная система двух функций удовлетворяющая уравнениям (28) непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию

На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. В третьем томе мы рассмотрим общий случай любого числа функций с любым числом переменных.