138. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм: произведение равно сумме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим. Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будет также абсолютно сходящимся.
Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут
Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами и притом когда само умножение совершается следующим порядком:
Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна 
.
Обозначим через 
сумму 
первых членов ряда (5). Можно всегда выбрать настолько большое число 
, чтобы все члены, входящие в состав 
, вошли и в произведение сумм:
т. е. чтобы оказалось 
, т. е.
(6)
так как 
, ото, откуда и следует сходимость ряда (5) (120].
Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно, имеем
Рассмотрим теперь произведение 
. При данном 
, очевидно, можно, найти настолько большое 
, чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм 
, вошли в сумму 
; мы получим тогда
а потому и в пределе, 
,
Неравенство это в соединении с (6) дает 
, что и требовалось доказать.
Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, но с какими угодно членами. Следовательно, сходятся ряды с положительными членами
а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд
Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (5) будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь через
соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значения отрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся; положим
Как известно [137], мы имеем
Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленно перемножать между собой; сумма произведений рядов
содержит как раз те и только те члены, которые входят в ряд (5), а потому имеем
что и требовалось доказать.
Пример. Ряд
сходится абсолютно при 
, а потому
