36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.

В дальнейшем буквами мы будем обозначать упорядоченные переменные, которые имеют одну и ту же упорядочивающую переменную (значок или переменную t), так что мы можем производить элементарные действия над этими переменными.

Если переменные стремятся к нулю, то к их частному теорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительных исследований ничего не можем сказать о существовании предела у этого частного.

Положим, что стремятся к нулю, но не принимают в процессе изменения значения нуль и что отношение стремится к пределу а, конечному и отличному от нуля.

При этом и отношение стремится к пределу конечному и отличному от нуля. В этом случае говорят, что бесконечно малые одного и того же порядка.

Если предел отношения равен нулю, то говорят, что — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с а или что а — бесконечно малая низшего порядка по сравнению с . Если отношение — стремится к бесконечности, то стремится к нулю, т. е. низшего порядка по сравнению с а и высшего порядка по сравнению с . Легко показать, что если бесконечно малые одного и того же порядка и у бесконечно малая высшего порядка по отношению к а, то она бесконечно малая высшего порядка и по отношению к . По условию и отношение имеет предел, конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства силу теоремы о пределе произведения, непосредственно следует, что 0, что и доказывает наше утверждение.

Отметим важный частный случай бесконечно малых одного и того же порядка. Если (при этом и то бесконечно малые называются эквивалентными. Из равенства непосредственно следует, что эквивалентность равносильна тому, что разность есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к а. Из равенства точно так же следует, что эквивалентность равносильна тому, что есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к .

Если отношение , где k — постоянное положительное число, стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что бесконечно малая порядка k по сравнению с а. Если где с — число, отличное от нуля, то , т. е. — эквивалентные бесконечно малые, и следовательно, разность есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с (или по сравнению с ). Если принять а за основную бесконечно малую, то равенство , где у — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с представляет собой выделение из бесконечно малой бесконечно малого слагаемого (простейшего вида по отношению к а), так что остаток у есть уже бесконечно малая высшего порядка по сравнению с (или по сравнению с ).

Аналогичным образом производится сравнение бесконечно больших величин и . Если - стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что бесконечно большие величины одного и того же порядка. Если , то . В этом случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядка по сравнению с и или что и бесконечно большая высшего порядка по сравнению с v. Если то бесконечно большие называются эквивалентными. Если где k — постоянное положительное число, имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят, что v бесконечно большая порядка по сравнению с и. Все сказанное выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечно больших.

Отметим еще, что если отношение - или - вовсе не имеет предела, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно большие называются несравнимыми.